A. X.________, née en 1961, a travaillé en qualité d’aide de maison au sein de l’ancien hôpital psychiatrique de Perreux à 100 % dès le 1er octobre 2002. Le 21 mai 2008, elle a déposé une demande de prestations AI pour adultes (mesures professionnelles/rente) auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après : OAI), en raison d’une incapacité de travail dont le taux avait varié (compris entre 100 % et 50 %), depuis le 18 octobre 2005 pour cause de maladie. A cet égard, le Dr A.________, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant, a indiqué que l’intéressée souffrait d’un syndrome douloureux chronique existant depuis 2003 au moins et de lombalgies mécaniques sur discopathies entraînant des incapacités de travail, dans la dernière activité, de 50 à 100 % dès le 4 mai 2007.
Dans le cadre de l’instruction, l’assurée a été soumise, le 17 juin 2009, à un examen clinique rhumatologique et psychiatrique réalisé par le Dr B.________, spécialiste en médecine physique et rééducation FMH, et par le Dr C.________, psychiatre FMH, tous deux œuvrant pour le compte du Service médical régional de l’OAI (ci-après : SMR). Dans leur rapport du 29 juin 2009, ils ont diagnostiqué, avec répercussion sur la capacité de travail, des lombalgies chroniques sur troubles statiques et dégénératifs (M54.56) et des omalgies gauches, dans un contexte de syndrome de la coiffe des rotateurs (M75.1). Ils ont également diagnostiqué, toutefois sans répercussion sur la capacité de travail, une fibromyalgie (M79), une obésité de classe 2 et une hypertension artérielle. Ils ont conclu que, dans le cadre de son activité usuelle, la recourante possédait une capacité de travail de 85 %. Ils ont arrêté les limitations fonctionnelles suivantes : "Pas de port de charges supérieures à 7.5 kg de façon répétitive et occasionnelle au-delà de 10 kg. Eviter les positions statiques assises au-delà de 1 heure, sans possibilité de varier les positions assise et debout. Pas de position en porte-à-faux ou en antéflexion du rachis à répétition, contre résistance. Eviter les positions en génuflexion ou accroupies, à répétition. Eviter les activités en hauteur (mouvements d’antépulsion ou d’abduction, au-delà de 60° de façon répétitive et occasionnelle au-delà de 90°)". Dans le respect de celles-ci, ils ont conclu à une activité exigible à 100 % depuis mai 2007. Par décision du 9 février 2010, l’OAI a nié à l'assurée le droit à une rente d’invalidité.
Suite à une nouvelle incapacité de travail dès le 24 août 2011 en raison d’une chute accidentelle sur son genou droit, l’assurée a déposé une nouvelle demande de prestations AI pour adultes (mesures professionnelles/rente) le 20 décembre 2011. Dans le cadre de l’instruction, le Dr A.________ a déposé un rapport médical du 17 février 2012 dans lequel il a posé les diagnostics, avec effet sur la capacité de travail, de contusions du genou droit avec probable algodystrophie, de syndrome douloureux chronique et de lombalgie mécanique sur discopathie, de vertiges et de surcharge pondérale. Il a déposé un rapport d’IRM du genou droit du 4 octobre 2011 du Dr D.________, radiologue FMH, qui a conclu à un reste d’hématome sous-cutané en avant du tendon rotulien et un amincissement du cartilage rotulien de nature dégénérative, sans autre lésion décelable et sans signe de fracture. Par rapport du 20 septembre 2012, le SMR a considéré que les limitations fonctionnelles arrêtées dans son rapport du 29 juin 2009 couvraient également la nouvelle atteinte au genou droit. Il a retenu, dès le 13 février 2012, dans l’activité habituelle, une capacité de travail de 60 % et, dans une activité adaptée, une pleine capacité de travail. Dans le cadre de l’instruction menée par l’assurance-accidents de l'assurée, une expertise rhumatologique du 31 octobre 2012 du Dr E.________, rhumatologue FMH, a été versée au dossier. Ce praticien a diagnostiqué, avec effet sur la capacité de travail, une chondropathie rotulienne symptomatique du genou droit ainsi que des lombalgies sur troubles dégénératifs lombaires modérés étagés. Il a considéré que ces atteintes constituaient, s’agissant de la chondropathie, une limitation dans des activités nécessitant des positions d’accroupissement ou d’agenouillement fréquentes ainsi que dans des activités essentiellement en position debout et, s’agissant des lombalgies, une limitation pour des activités contraignantes pour le dos (mouvements répétitifs en flexion du tronc ou en position statique prolongée le tronc penché en avant ainsi que lors des ports de charges répétés de plus de cinq à dix kilos). Le praticien a attesté une capacité de travail de 50 % dans l’activité habituelle et complète dans une activité adaptée à ces limitations fonctionnelles. Par avis médical du 9 janvier 2013, le SMR a considéré que cet expert n’avait pas déterminé de limitations fonctionnelles rhumatologiques allant au-delà de celles déterminées par le SMR dans son rapport du 29 juin 2009, qui demeuraient dès lors valables. Il a fait siennes les conclusions de l’expertise s’agissant de l’exigibilité médico-théorique à partir du 5 décembre 2011. Par décision du 4 mars 2013, l’OAI a constaté que l’instruction avait mis en évidence une perte économique de 15 % insuffisante pour ouvrir le droit à la rente.
Le 9 avril 2015, l’assurée a déposé une troisième demande de prestations auprès de l’OAI en invoquant les atteintes à la santé suivantes : "Inflammation, rhumatisme, fibrom[y]algie, douleurs chroniques des os, des muscles, vertiges oreilles internes, problèmes au niveau des bras, des mains, du dos, des jambes, la tête – Arthrose". Dans le cadre de l’instruction, le Dr A.________ a déposé un nouveau rapport médical du 18 mai 2015. Ce praticien a diagnostiqué, avec effet sur la capacité de travail, une contusion des deux genoux à prédominance gauche (chute du 15.11.2014), un status après contusion du genou droit avec probable algodystrophie (en 2011), un syndrome douloureux chronique et des lombalgies mécaniques sur discopathie. Il a indiqué que pour l’essentiel, les plaintes étaient comparables à celles décrites dans son rapport du 31 mai 2012. Il ne s’est pas prononcé sur la question de la capacité médico-théorique de travail.
Pour sa part, le Prof. F.________, spécialiste FMH en oto-rhino-laryngologie et chirurgie cervico-faciale, a déposé un rapport du 22 juillet 2015 et a diagnostiqué, avec répercussion sur la capacité de travail, une dysfonction otolithique gauche (canalolithiase). Elle a toutefois indiqué que sur le plan otoneurologique, la capacité de travail était complète dès le 9 juillet 2014. A la demande du SMR, l’instruction a été complétée : dans un rapport du 1er décembre 2015, le Dr G.________, spécialiste FMH en médecine interne et oncologie, n’a apporté aucun élément pertinent, renvoyant l’OAI au Dr A.________; un avis de l’atelier 93, au sein duquel l’assurée a effectué un stage du mois de juin au mois de novembre 2014 à 60 % a également été versé; l’OAI a enfin été informé que l’assurée s’était inscrite à l’assurance-chômage pour un emploi à temps plein, avec une indemnisation à cet égard de décembre 2012 à octobre 2014.
Dans un rapport du 10 juin 2016, le Dr A.________ à mis à jour les éléments médicaux rapportés. Il a diagnostiqué, avec effet sur la capacité de travail, des lombalgies mécaniques sur discopathie, un syndrome douloureux chronique, un status après contusion aux deux genoux, des vertiges et de l’obésité. Il a attesté une incapacité de travail complète, dans la dernière activité exercée, depuis le 26 juin 2015. Il a en outre déposé un rapport du Dr H.________, médecin-chef du département d’imagerie médicale de l’Hôpital neuchâtelois (HNE) du 29 avril 2016 ainsi qu’un rapport d’IRM du Dr D.________ du 15.07.2015. Dans un rapport du 27 juillet 2016 signé par les Dr I.________ et Dr J.________, cheffe de clinique adjointe, respectivement médecin assistant au sein du Centre neuchâtelois de psychiatrie (CNP), ces praticiens ont diagnostiqué, avec effet sur la capacité de travail, un épisode dépressif moyen avec syndrome somatique (F32.11) depuis 2016. Sans effet sur la capacité de travail, ils ont diagnostiqué une absence des membres de la famille (Z63.3) Ils ont attesté une capacité de travail à 50 % dès le mois d’août 2016. Le 2 août 2016, X.________ a subi une infiltration de la hanche droite en raison d’une tendinopathie/bursite péritrochantérienne.
Par avis médical du 13 septembre 2016, le SMR a préconisé un examen clinique au SMR (ou une expertise) bidisciplinaire, rhumatologique et psychiatrique. Le 21 mars 2017, l’assurée a été soumise à un examen clinique rhumatologique et psychiatrique mené respectivement par le Dr K.________, spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation, et le Dr L.________, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Par rapport du 5 avril 2017, ces praticiens ont diagnostiqué, avec effet sur la capacité de travail, des lombalgies chroniques non déficitaires dans le cadre de discopathies protrusives et d’arthrose postérieure (M54.5), un syndrome de la coiffe des rotateurs de l’épaule droite (M75.1), de l’arthrose des doigts avec trapézectomie et suspension tendineuse du côté droit le 15 août 2016 (M19.0) ainsi qu’une chondropathie fémoropatellaire bilatérale (M22.8). Ils ont également retenu, toutefois sans répercussion sur la capacité de travail, une fibromyalgie, une dysthymie d’intensité légère (F34.1), un épisode dépressif moyen, avec syndrome somatique, diagnostic anamnestique, en rémission complète (F32.11). Ils ont arrêté, sur le plan rhumatologique, les limitations fonctionnelles suivantes : "mouvements contre-résistance ou mouvements répétitifs de mains; activité au-dessus de l'horizontale; activité en zone basse accroupie ou à genou; port de charges au-delà de 5 kg; marche sur terrain irrégulier, montée et descente fréquentes d'escaliers; posture en porte-à-faux lombaire; mouvements répétitifs de flexion-extension ou rotation lombaire; position debout au-delà de 15 minutes". Ils ont précisé que des activités se déroulant essentiellement en position assise, avec possibilité de se lever et d'effectuer quelques pas par intermittence étaient exigibles. En revanche, sur le plan psychiatrique, ils n’ont arrêté aucune limitation fonctionnelle. Ces deux praticiens ont attesté, dans l’activité habituelle, une incapacité complète de travail depuis le 15 août 2016. Avant cette date, ils se sont référés à l’avis du Dr E.________ en précisant que les contusions des genoux de 2011 et 2014 justifiaient des incapacités de travail totales limitées dans le temps. Sur le plan psychiatrique, ils ont rapporté une incapacité de travail complète depuis janvier 2016 puis de 50 % entre août et novembre 2016. Globalement, pour des motifs rhumatologiques, depuis le 15 février 2017, ils ont attesté l’absence de capacité de travail dans l’activité habituelle mais une capacité de travail de 75 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles de l’assurée. A la demande du SMR, le Dr M.________, FMH chirurgie plastique et reconstructive et FMH chirurgie de la main, a déposé un rapport médical du 19 octobre 2017. Le Dr N.________, chirurgien orthopédique FMH, a également adressé un rapport du 26 avril 2018. Il a attesté une incapacité de travail complète du 22 novembre 2017 au 31 mai 2018 à la suite d’une intervention chirurgicale d’une déchirure de la coiffe des rotateurs (côté non précisé).
Par avis médical du 9 mai 2018, le SMR a fait siennes les conclusions de l’examen clinique du 21 mars 2017 et considéré que le dernier constat du Dr N.________ n’interférait plus avec celles-ci.
Par projet de décision du 13 août 2018, l’OAI a envisagé l’octroi d’une rente d’invalidité selon les degrés d’invalidité suivants : un quart de rente du 1er janvier 2016 au 31 mars 2016, rente entière du 1er avril 2016 au 31 mai 2017, un quart de rente du 1er juin 2017 au 31 janvier 2018, une rente entière du 1er février 2018 au 31 juillet 2018 puis un quart de rente dès le 1er août 2018 et pour le futur. L’assurée a fait valoir son droit d’être entendue et a déposé un nouvel avis médical du Dr A.________ du 4 septembre 2018 ainsi qu’un avis du Dr O.________, dermatologue, du 29 juin 2018, deux avis du Dr N.________ des 13 mars et 12 juin 2018, un avis du Dr G.________ du 19 avril 2018 ainsi que deux avis du Dr P.________, endocrinologie diabétologie FMH, des 12 décembre 2017 et 6 mars 2018.
Par avis du 13 septembre 2018, le SMR a considéré que ces documents ne contenaient pas d’élément objectivement nouveau et a maintenu ses conclusions. Par décision du 9 novembre 2018, l’OAI a confirmé son projet. Il a fait siennes les conclusions de l’examen clinique de son SMR du 21 mars 2017. Les motifs de la décision seront repris dans la partie en droit en tant que besoin.
B. X.________ interjette recours auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal contre cette décision, dont elle demande l’annulation. Elle conclut, principalement, à l’octroi d’une rente entière depuis le 9 avril 2015 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l’autorité intimée pour nouvelle décision, le tout sous suite de frais et dépens, sous réserve des dispositions sur l’assistance judiciaire, dont elle sollicite l’octroi. En substance, elle soutient que la décision attaquée serait en contradiction avec les conclusions du SMR, dont elle conteste également – à tout le moins partiellement – la valeur probante, en lui opposant l’avis de ses médecins traitants. Sur le plan du calcul de la perte économique, elle soutient qu’un abattement de 25 % devrait être pris en considération en lieu et place des 15 % retenus. Elle soutient encore qu’il n’existe aucune possibilité réaliste d'exploiter sa capacité résiduelle de travail.
C. Elle reproche enfin à l’OAI de ne pas tenir compte d’une diminution de rendement et soutient ne pas être en mesure de trouver un emploi.
D. Dans ses observations, l’OAI conclut au rejet du recours.
CONSIDERANT
en droit
1. Interjeté dans les formes et délai légaux, le recours est recevable.
2. a) Selon l'article 4 al. 1 LAI, l'invalidité peut résulter d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident. L'article 8 LPGA mentionne qu'est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle qui est présumée permanente ou de longue durée. Est réputée incapacité de travail toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique. En cas d'incapacité de travail de longue durée, l'activité qui peut être exigée de lui peut aussi relever d'une autre profession ou d'un autre domaine d'activité (art. 6 LPGA). En vertu de l'article 7 LPGA, est réputée incapacité de gain toute diminution de l'ensemble ou d'une partie des possibilités de gain de l'assuré sur un marché du travail équilibré dans son domaine d'activité, si cette diminution résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique et qu'elle persiste après les traitements et les mesures de réadaptation exigibles. L'assuré a droit à une rente s'il est invalide à 40 % au moins. Un taux d'invalidité de 40 % au moins donne droit à un quart de rente AI, un taux d'invalidité de 50 % au moins, à une demi-rente AI, un taux de 60 % au moins, à trois quarts de rente AI et un taux de 70 % au moins à une rente entière (art. 28 al. 2 LAI).
b) Lorsque l'administration entre en matière sur une nouvelle demande après un refus de prestations (art. 87 al. 3 RAI), elle doit instruire la cause et déterminer si la situation de fait s'est modifiée de manière à influencer les droits de l'assuré, par analogie à ce qui prévaut en cas de révision au sens de l'article 17 LPGA. Lors d'un recours, le juge est tenu d'effectuer le même examen quant au fond (arrêt du TF du 13.03.2015 [9C_659/2014] cons. 3; ATF 133 V 108 cons. 5, 130 V 64 cons. 2 et les arrêts cités). La révision du droit à la rente au sens de l'article 17 LPGA suppose un changement dans les circonstances personnelles de l'assuré, relatives à son état de santé, à des facteurs économiques ou aux circonstances (hypothétiques) ayant déterminé le choix de la méthode d'évaluation de l'invalidité (ATF 117 V 198 cons. 3b, p. 199), qui entraîne une modification notable du degré d'invalidité (ATF 133 V 545 cons. 6.1 et 7.1). Cela revient à examiner si, par analogie avec l’article 17 LPGA (ATF 133 V 108 cons. 5 et les références citées), l’état de santé de l’assuré s’est notablement modifié depuis l’entrée en force de la dernière décision qui repose sur un examen matériel du droit, une constatation des faits pertinents, une appréciation des preuves et une comparaison des revenus. Si tel n’est pas le cas, l'administration rejette la demande. Dans le cas contraire, elle est tenue d’examiner s’il y a désormais lieu de reconnaître un taux d’invalidité ouvrant le droit à une prestation ou augmentant celle-ci. Il en va de même dans le cas d’une décision par laquelle l’assurance-invalidité accorde une rente avec effet rétroactif et, en même temps, prévoit la réduction, l’augmentation ou la suppression de cette rente, ce qui correspond à une décision de révision à laquelle les règles régissant cette dernière sont applicables par analogie (art. 17 LPGA; ATF 131 V 164 cons. 2.2; arrêt du TF du 29.04.2008 [9C_556/2007] cons. 3).
Il n’y a pas matière à révision lorsque les circonstances sont demeurées inchangées et que le motif de la nouvelle demande de rente réside uniquement dans une nouvelle appréciation du cas. Un motif de révision au sens de l’article 17 LPGA doit clairement ressortir du dossier. La réglementation sur la révision ne saurait en effet constituer un fondement juridique à un réexamen sans condition du droit à la rente.
Le point de savoir si un tel changement s'est produit doit être tranché en comparant les faits tels qu'ils se présentaient au moment de la dernière décision entrée en force qui repose sur un examen matériel du droit à la rente avec une constatation des faits pertinents, une appréciation des preuves et une comparaison des revenus conformes au droit et les circonstances régnant à l'époque de la décision litigieuse (ATF 133 V 108). Lorsque les faits déterminants pour le droit à la rente se sont modifiés au point de faire apparaître un changement important de l'état de santé motivant une révision, le degré d'invalidité doit être fixé à nouveau sur la base d'un état de fait correct et complet, sans référence à des évaluations d'invalidité antérieures (ATF 141 V 9 cons. 2.3).
c) Si l'invalidité est une notion juridique fondée sur des éléments d'ordre essentiellement économique, il ne convient pas moins d'examiner d'abord l'incapacité de travail telle qu'elle a été fixée par les médecins. En effet, pour pouvoir calculer le degré d'invalidité, l'administration, ou le juge s'il y a eu recours, a besoin de renseignements que seul le médecin est à même de lui fournir. La tâche de ce dernier consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est capable ou incapable de travailler. En outre, les données fournies par le médecin constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (ATF 132 V 93 cons. 4, 125 V 256 cons. 4, 115 V 133 cons. 2, 114 V 310 cons. 3c, 105 V 156 cons. 1; arrêts du TF des 02.03.2017 [8C_160/2016] cons. 4.1 et 04.07.2014 [8C_442/2013] cons. 2).
3. La décision contestée porte sur l’octroi d’un quart de rente du 1er janvier 2016 au 31 mars 2016, d’une rente entière du 1er avril 2016 au 31 mai 2017, d’un quart de rente du 1er juin 2017 au 31 janvier 2018, d’une rente entière du 1er février 2018 au 31 juillet 2018 puis d’un quart de rente dès le 1er août 2018 et pour le futur. On relèvera que la recourante ne conteste pas son droit à une rente entière du 1er avril 2016 au 31 mai 2017 puis du 1er février 2018 au 31 juillet 2018. Il n’y a donc pas lieu d’y revenir, sauf en tant que besoin pour l’analyse des périodes litigieuses.
4. La recourante invoquant ses griefs de manière transversale et la réponse donnée à l’un d’eux étant à même d’influencer celle donnée à un autre, il convient en premier lieu, par souci de clarté, de se prononcer quant à la valeur probante des avis des médecins ayant fondé, sous l’angle médical, la décision litigieuse.
a) Celle-ci repose, principalement, sur le rapport d’examen clinique rhumatologique et psychiatrique du 5 avril 2017 des Drs K.________ et L.________, œuvrant tous deux pour le SMR.
b) En matière d'appréciation des preuves, le juge des assurances sociales doit, quelle que soit leur provenance, examiner l'ensemble des moyens de preuve de manière objective et décider s'ils permettent de trancher la question des droits litigieux de manière sûre. En particulier, le juge ne saurait statuer, en présence de rapports médicaux contradictoires, sans s'être penché sur toutes les preuves disponibles et sans indiquer les motifs qui le conduisent à retenir un avis médical plutôt qu'un autre. A cet égard, l'élément déterminant n'est ni l'origine, ni la désignation du moyen de preuve comme rapport ou expertise, mais son contenu. Il importe que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude fouillée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées, qu'il ait été établi en pleine connaissance du dossier (anamnèse), que la description des interférences médicales soit claire et, enfin, que les conclusions du praticien soient bien motivées (ATF 134 V 231 cons. 5.1, 133 V 450 cons. 11.1.3, 125 V 351 cons. 3a et les références citées). On ajoutera encore que les rapports établis par les médecins internes à l'assureur social n'ont pas la même valeur probante qu'une expertise recueillie, en application de l'article 44 LPGA, auprès d'un spécialiste externe ou qu'une expertise judiciaire. Ils doivent cependant être pris en considération. En l'absence d'une expertise externe, s'il existe un doute, même faible, sur leur fiabilité et leur pertinence, il conviendra cependant d'ordonner des investigations complémentaires (ATF 135 V 465 cons. 4).
c) La Cour de céans observe que le rapport du 5 avril 2017 contextualise de manière aboutie la situation de la recourante et fait suite à un examen complet et diligemment mené. Il établit d’emblée le motif de l’examen et contient un résumé exhaustif des documents médicaux alors présents au dossier. L’anamnèse est complète, scindée en tant que besoin en une partie somatique et une partie psychiatrique, et tient compte de tous les éléments pertinents. Les plaintes exprimées par la recourante, tant sous l’angle ostéoarticulaire que psychiatrique, sont référencées ainsi que la description de sa vie quotidienne. Enfin, le rapport fait état de l’ensemble des examens cliniques réalisés et du dossier radiologique et des éléments objectivés sur ces bases.
Les médecins ont diagnostiqué, avec effet sur la capacité de travail, des lombalgies chroniques non déficitaires dans le cadre de discopathies protrusives et d’arthrose postérieure (M54.5), un syndrome de la coiffe des rotateurs de l’épaule droite (M75.1), de l’arthrose des doigts avec trapézectomie et suspension tendineuse du côté droit le 15 août 2016 (M19.0) ainsi qu’une chondropathie fémoropatellaire bilatérale (M22.8). Ils ont également retenu, toutefois sans répercussion sur la capacité de travail, une fibromyalgie, une dysthymie d’intensité légère (F34.1), un épisode dépressif moyen, avec syndrome somatique, diagnostic anamnestique, en rémission complète (F32.11). Ils ont arrêté, sur le plan rhumatologique, les limitations fonctionnelles suivantes : "mouvements contre-résistance ou mouvements répétitifs de mains; activité au-dessus de l'horizontale; activité en zone basse accroupie ou à genou; port de charges au-delà de 5 kg; marche sur terrain irrégulier, montée et descente fréquentes d'escaliers; posture en porte-à-faux lombaire; mouvements répétitifs de flexion-extension ou rotation lombaire; position debout au-delà de 15 minutes". Ils ont précisé que des activités se déroulant essentiellement en position assise, avec possibilité de se lever et d'effectuer quelques pas par intermittence étaient exigibles. En revanche, sur le plan psychiatrique, ils n’ont arrêté aucune limitation fonctionnelle.
Cette expertise est ensuite motivée, dans le cadre d’une appréciation consensuelle du cas, sous l’angle rhumatologique, par le Dr K.________ qui, après avoir rappelé les douleurs exprimées par la recourante, a objectivé diverses atteintes, sur la base de l’examen clinique ou des documents radiographiques à sa disposition (signes cliniques de tendinopathie du susépineux du côté droit; discopathies protrusives des L2 à S1; arthrose des articulations postérieures aux étages inférieurs; chondropathie fémoropatellaire, aggravée au cours des années; aggravation de l'arthrose avec la présence de nodosités d'Heberden et les séquelles d'une trapézectomie avec suspension tendineuse au poignet droit). Il a précisé que toutes les douleurs ne s’expliquaient pas par l’atteinte dégénérative vu la présence de 14 points douloureux de fibromyalgie, en soulignant toutefois qu’elle ne nécessitait aucune mesure de protection articulaire.
Sous l’angle psychiatrique, le Dr L.________ a rappelé que, dans un contexte somatique difficile, la recourante avait développé une symptomatologie dépressive réactionnelle ayant nécessité une prise en charge psychiatrique ambulatoire, laquelle s’était par la suite améliorée. Il a exclu, sur la base de son examen clinique, la présence de dépression majeure, de décompensation psychotique, d'anxiété généralisée, de trouble phobique, de trouble panique, de trouble de la personnalité morbide, d'état de stress post-traumatique, de TOC, de trouble dissociatif, de perturbation de l'environnement psychosociale, de syndrome douloureux somatoforme persistant, et de limitations fonctionnelles psychiatriques à caractère incapacitant. Il a indiqué que le diagnostic d'épisode dépressif moyen était en rémission complète. Il a expliqué avoir observé la présence d’une dysthymie d'intensité légère, à savoir une dépression chronique de l'humeur, dont la sévérité était toutefois insuffisante pour justifier un diagnostic de trouble dépressif récurrent léger ou moyen ou considérer qu’elle représentait une pathologie psychiatrique à caractère invalidant. Par des explications complètes, le praticien a considéré que l'assurée ne souffrait d'aucune pathologie psychiatrique aiguë ou chronique, à caractère incapacitant.
La Cour de céans observe que ce rapport médical complet a été établi en pleine connaissance de l’anamnèse et du dossier et en prenant en compte les données subjectives fournies par l’assurée au cours d’un examen personnel par chaque praticien spécialisé. Le rapport contient une description complète du contexte médical. L'appréciation du cas effectuée par les médecins est claire, motivée et aisément intelligible, tout comme les réponses aux questions posées, réponses permettant d’appréhender les aspects pertinents du cas. Au demeurant, aucun élément objectif ne permet de faire douter la Cour de céans de la conscience professionnelle, de la compétence et de l'objectivité de ces deux médecins. Ainsi, bien que ce document constitue un rapport d’examen au sens de l'article 49 al. 2 RAI, et non une expertise au sens de l’article 44 LPGA, il convient de lui reconnaître pleine valeur probante, dès lors qu’il remplit les critères posés par la jurisprudence en la matière.
5. a) Il convient encore d’examiner si le rapport du 5 avril 2017 – qui n’a pas été établi en suivant le nouveau schéma d’évaluation et le catalogue des indicateurs tels que retenus dans la nouvelle jurisprudence relative aux troubles psychiques développée aux ATF 143 V 418, 143 V 409 et 141 V 281) – permet ou non une appréciation concluante du cas à l’aune des indicateurs déterminants. Le point de départ de l’évaluation prévue par ces arrêts est l’ensemble des éléments médicaux et des constatations y relatives. Les experts doivent motiver le diagnostic de telle manière que l’organe d’application du droit puisse comprendre non seulement si les critères de classification sont remplis mais aussi si, et comment, les limitations concrètes dans les fonctions de la vie quotidienne, qui sont présupposées dans la classification, doivent être prises en compte lors de l’évaluation de la capacité de travail. La jurisprudence considère que l’organe chargé de l’application du droit doit, avant de procéder à l’examen des indicateurs mentionnés, analyser si les troubles dûment diagnostiqués conduisent à la constatation d’une atteinte à la santé importante et pertinente en droit de l’assurance-invalidité, c’est-à-dire qui résiste aux motifs dits d’exclusion tels qu’une exagération ou d’autres manifestations d’un profit secondaire tiré de la maladie.
b) En l’espèce, les médecins examinateurs relèvent que la recourante "se plaint de douleurs partout", qu’elle présente des douleurs diffuses de toute la colonne vertébrale, des membres supérieurs, des mollets et que les points douloureux de fibromyalgie sont à 14/18; que tout au long de l’entretien, l’assurée présente une amplification verbale de ses plaintes somatiques dans le cadre d’une fibromyalgie, mais qu’elle ne présente pas de sentiment de détresse ni de comportement algique. Ils relèvent que toutes les douleurs exprimées par l’assurée ne s’expliquent pas par les atteintes dégénératives constatées, ce qui est confirmé par la présence de 14 points douloureux de fibromyalgie. Ils ont noté : que l’assurée s’était présentée à l’examen en tenant une canne de la main gauche, mais que sans canne, la marche était normale, sans boiterie; que la position assise était bien tolérée; que malgré la polyarthrose, l’assurée disposait de bonnes ressources physiques puisqu’elle tenait seule son ménage et qu’elle se rendait chaque année en Croatie en voyageant généralement en bus, qu’elle maintenait des contacts sociaux avec son ex-mari et des amies; que l’examen avait confirmé de bonnes ressources physiques en mettant en évidence une marche à plat aisée, une bonne tolérance de la position assise et une gestuelle spontanée libre sans mesures de protection articulaire. Sous un chapitre intitulé "cohérence", les experts indiquent : "A l'examen clinique, nous avons objectivé des divergences apparues entre les symptômes décrits et le comportement de l'assurée en situation d'examen, mais également entre les observations faites par le psychiatre traitant et entre les éléments du dossier et les activités quotidiennes de l'assurée."
Il ressort des contradictions et incohérences qui précèdent qu'elles permettent de nier tout caractère invalidant à la fibromyalgie diagnostiquée par les médecins examinateurs, fibromyalgie à laquelle ils n’avaient du reste reconnu aucune répercussion sur la capacité de travail.
6. Dans son mémoire, la recourante conclut tout d’abord à l’octroi d’une rente entière dès le 9 avril 2015, en lieu et place d’un quart de rente dès le 1er janvier 2016. Ce faisant, elle conteste le moment de la naissance de son droit à une rente ainsi que la fraction de celle-ci. En substance, elle reproche à l’OAI l’octroi d’un quart de rente du 1er janvier 2016 au 31 mars 2016 alors qu'il retenait, sur la base des avis médicaux de son SMR, qu’elle présentait alors une incapacité complète de travail. Elle n’explique par contre pas pour quelle raison elle considère avoir droit à une rente entière dès le 9 avril 2015.
a) Au sens de l’article 28 al. 1 let. b LAI, l'assuré a droit à une rente s’il remplit notamment la condition d’avoir présenté une incapacité de travail au sens de l’article 6 LPGA d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable. Selon cette dernière disposition, est réputée incapacité de travail toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique. En cas d'incapacité de travail de longue durée, l'activité qui peut être exigée de lui peut aussi relever d'une autre profession ou d'un autre domaine d'activité. A cet égard, l'incapacité de travail déterminante pour la période de carence est une diminution de rendement imputable à une atteinte à la santé dans la profession exercée jusqu'alors ou dans le domaine d'activité habituel. Cette incapacité de travail s'apprécie sur la base de constatations médicales. Il existe ainsi une différence fondamentale entre les notions d’incapacité de travail et de degré d’invalidité, qui correspond à l'"incapacité d’exploiter économiquement une capacité de travail restante sur l’ensemble du marché du travail, après la mise en œuvre de toute mesure de réadaptation". En outre, lors de l'évaluation de l'invalidité, l'obligation de réduire le dommage joue un rôle important en ce sens que l'assuré est tenu d'exercer, dans la mesure du possible, un travail autre que son activité habituelle, à condition que la capacité de travail restante puisse être mieux utilisée financièrement. Il s’ensuit que seule la profession usuelle constitue le point de référence de l'incapacité de travail pertinente pour le début du droit à la rente (ATF 130 V 97 cons. 3.2 et les références citées). Au sens de l’article 28 al. 1 let. c LAI, le droit à la rente est ouvert à la condition complémentaire qu’au terme de cette année, l’assuré est invalide au sens de l’article 8 LPGA à 40 % au moins.
b) En l’espèce, la décision attaquée retient, en se fondant sur le rapport d’examen clinique du 5 avril 2017, que du 15 novembre 2014 au 9 avril 2015, la capacité de travail de la recourante était nulle dans toute activité. A partir du 10 avril 2015, une pleine capacité de travail a été reconnue, mais uniquement "dans une activité adaptée", la capacité de travail dans l’activité habituelle demeurant nulle. Il s’ensuit que, contrairement à ce qu’a retenu l’OAI, le délai de carence a bel et bien commencé à courir le 15 novembre 2014 et est arrivé à échéance le 14 novembre 2015 (sans aucune interruption notable de l'incapacité de travail; cf. art. 29ter RAI). Or, à cette date, l’assurée présentait une invalidité de 21 %, insuffisant pour ouvrir le droit à la rente.
A cet égard, le seul reproche fait par la recourante quant aux modalités de calcul de ce taux relève de l’abattement qu’elle considère insuffisant. Cet argument est inopérant à mesure que, même en retenant un abattement de 25 %, le taux d’invalidité demeurerait insuffisant pour ouvrir un droit à une rente.
L’assurée a été reconnue en incapacité complète de travail dans une activité adaptée du 6 janvier 2016 au 14 février 2017. Cette appréciation médicale n’est en soit pas remise en cause par la recourante, qui s’en prévaut même, et découle d’un rapport médical auquel pleine valeur probante a été reconnue. C’est en définitive dès le 6 janvier 2016 que le droit à une rente a pris naissance (art. 28 LAI). Dès lors, la recourante avait droit à une rente entière dès le 1er janvier 2016 (art. 29 al. 3 LAI) et non dès le 1er avril 2016.
Il convient de préciser que le calcul de l’OAI, qui semble faire application de la jurisprudence contenue à l’ATF 121 V 264 cons. 6b/cc, n’est pas pertinent, dès lors que l’incapacité de travail est, en l’espèce, totale depuis le début. Il en va de même de l'article 88a RAI, qui est une disposition d'exécution de l'article 17 LPGA (révision du droit à la rente) en ce sens qu'il fixe le moment à partir duquel une modification de l'invalidité d'un "bénéficiaire" de rente est réputée suffisamment durable pour déployer ses effets sur le droit aux prestations (arrêt du TF du 10.12.2001 [I 179/01] cons. 3b).
c) Pour ce motif, le recours doit être admis en ceci que X.________ a droit à une rente entière du 1er janvier au 31 mars 2016 en lieu et place d’un quart de rente. Pour le surplus, le grief doit être rejeté.
7. a) Dans la décision litigieuse, l’OAI a réduit une première fois le droit à la rente à un quart de rente, en lieu et place d’une rente entière, dès le 1er juin 2017 en raison d’une amélioration de la capacité de gain de l'assurée. Il a retenu qu’à partir du 15 février 2017, sa capacité de travail était de 75 % dans une activité adaptée. Cela correspond, contrairement à ce que la recourante semble soutenir, à l’appréciation des docteurs K.________ et L.________, lesquels ont retenu que sur le plan rhumatologique, l’incapacité de travail était totale dans l’activité de nettoyeuse mais que, en revanche, dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles (cf. cons. 4c), la capacité de travail était de 75 % depuis le 15 février 2017, soit à six mois après la trapézectomie avec suspension du 1er métacarpien (opération du 15.08.2016). Au demeurant, sur le plan psychiatrique, aucune pathologie invalidante n’a été retenue au-delà du mois de novembre 2016, date de l'arrêt de la prise en charge psychiatrique ambulatoire suite à une stabilisation de son état.
b) Il s’ensuit qu’on ne saurait suivre la recourante lorsqu’elle reproche à l’OAI de s’être écarté de l’avis de son SMR – dont elle se prévaut d’ailleurs – en ceci qu’il aurait retenu une incapacité de travail "totale durant cette période, ou à tout le moins durant une partie de cette période". Il apparaît en effet qu’elle ne fait pas la distinction entre les notions d’activité habituelle et d’activité adaptée aux limitations fonctionnelles.
c/aa) La recourante conteste également, pour cette période, la prise en compte d’un abattement de 15 %, qu’elle considère insuffisant. A raison, elle ne conteste pas les autres éléments du calcul de l’invalidité effectué par l’OAI pour cette période, qui peut être validé.
c/bb) En ce qui concerne la fixation du revenu d'invalide sur la base des statistiques salariales, il est notoire, selon la jurisprudence, que les personnes atteintes dans leur santé, qui présentent des limitations même pour accomplir des activités légères, sont désavantagées sur le plan de la rémunération par rapport aux travailleurs jouissant d'une pleine capacité de travail et pouvant être engagés comme tels; ces personnes doivent généralement compter sur des salaires inférieurs à la moyenne. La mesure dans laquelle les salaires ressortant des statistiques doivent par conséquent être réduits dépend de l'ensemble des circonstances personnelles et professionnelles du cas particulier (limitations liées au handicap, âge, années de service, nationalité, autorisation de séjour et taux d'occupation). Une déduction globale maximale de 25 % sur le salaire statistique permet de tenir compte des différents éléments qui peuvent influencer le revenu d'une activité lucrative (ATF 126 V 75 cons. 5b/aa-cc; arrêt du TF du 17.10.2018 [9C_458/2018] cons. 2.2 et les références). L'étendue de l'abattement du salaire statistique dans un cas concret constitue une question typique relevant du pouvoir d'appréciation, qui est soumise à l'examen du juge de dernière instance uniquement si la juridiction cantonale a exercé son pouvoir d'appréciation de manière contraire au droit, soit a commis un excès positif ou négatif de son pouvoir d'appréciation ou a abusé de celui-ci, notamment en retenant des critères inappropriés, en ne tenant pas compte de circonstances pertinentes, en ne procédant pas à un examen complet des circonstances pertinentes ou en n'usant pas de critères objectifs (ATF 137 V 71 cons. 5.1, p. 72).
c/cc) A cet égard, la recourante soutient que l’OAI n’aurait pas tenu compte de son "âge, du fait qu'elle souffre de problèmes psychiques invalidants depuis de nombreuses années, de ses très mauvaises connaissances linguistiques et des très nombreuses années passées sans activité professionnelle". Par conséquent et au vu de l'ensemble du dossier, c'est un abattement de 25 % qui devrait être pris en considération selon elle. Elle soutient encore que l’abattement n’a pas fait l’objet d'une appréciation médicale.
L’OAI a motivé la prise en compte d’un abattement de 20 % (cf. observations sur recours de l'OAI) - et non 15 %, ainsi que le soutient la recourante – afin de tenir compte des limitations fonctionnelles, de son ancienneté, de son âge et du taux d’activité partiel. Cette appréciation doit être confirmée. Les troubles psychiques n’étaient quoi qu’il en soit plus invalidants à ce moment-là et, de toute façon, l’appréciation médicale n’est pas en lien avec l’abattement, tout comme le degré de l’abattement n’est pas du ressort du corps médical, mais bien de l’administration. Pour le surplus, les mauvaises connaissances linguistiques ne constituent pas un critère d'abattement du revenu statistique établi dans son cas. La valeur statistique utilisée (ESS 2014 niveau 1) s'applique aux assurés qui conservent une capacité de travail dans des activités simples et répétitives; elle recouvre un large éventail d'activités variées et non qualifiées, ne requérant pas d'expérience professionnelle spécifique, ni de formation particulière, si ce n'est une phase initiale d'adaptation et d'apprentissage (par exemple : arrêt du TF du 14.06.2018 [8C_227/2018] cons. 4.2.3.3). Ceci étant, la Cour de céans observe que le calcul auquel a procédé l’OAI ne prête pas le flanc à la critique, la recourante ne le remettant d’ailleurs pas en cause, si ce n’est de manière toute générale. Le grief est mal fondé.
8. a) Après avoir constaté une péjoration durable – mais temporaire – de l’état de santé de la recourante en raison d’une intervention chirurgicale le 22 novembre 2017 pour traiter une déchirure de la coiffe des rotateurs justifiant une augmentation du droit à une rente entière dès le 1er février 2018, l’OAI a réduit une seconde fois le droit à la rente à un quart de rente en lieu et place d’une rente entière dès le 1er août 2018. Il a retenu que la recourante avait recouvré une capacité de travail de 75 % dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles dès le 26 avril 2018. Sur le plan médical, le SMR s’est fondé sur les conclusions du Dr N.________ et a considéré que les constats de ce dernier n’interféraient plus, à cette date (presque récupération de la mobilité et une force rétablie), avec les conclusions des examinateurs du SMR concernant la capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations retenues.
b) C’est en vain que la recourante oppose à cette appréciation l’avis du Dr A.________ du 4 septembre 2018. Cette appréciation constitue en effet, globalement, uniquement un rappel de l’ensemble des maux médicaux dont a souffert ou souffre encore l'intéressée, lesquels ont été pris en compte par le SMR. Ce médecin indique que certaines récidives peuvent vraisemblablement rendre la capacité de travail pratiquement nulle "si ce n’est que durant quelques jours ou quelques semaines". En l’absence d’une réelle motivation et vu les brèves durées alléguées, cet avis est insuffisant pour faire douter la Cour de céans de la validité de l’appréciation du SMR. Le Dr A.________ indique d’ailleurs lui-même ne pas avoir de divergence majeure quant aux diagnostics retenus par le SMR sur le plan ostéoarticulaire.
Quant aux rapports joints à l’appui de son avis, tous examinés par le SMR, ils n’apportent pas plus d’éléments objectivement à même de remettre en cause l’appréciation du SMR. S’agissant du Dr P.________, il a indiqué que l’hyperthyroïdie était corrigée sous traitement et a constaté l’absence d’élément objectif en faveur d’un caractère limitant de cette atteinte. Pour ce qui est du lipœdème, d’ores et déjà pris en compte dans l’examen du SMR, le Dr G.________ a expliqué que, cliniquement, la tuméfaction était identique à celle constatée en 2015. S’agissant des suites de l’intervention de la coiffe des rotateurs, le Dr N.________ n’a pas réitéré d’incapacité de travail lors du contrôle final. Enfin, d’un point de vue dermatologique, la très probable photo-phyto-dermatose constatée par le Dr O.________, n’apparaît pas à même d’être invalidante. Ce médecin n’atteste en tous les cas aucune incapacité de travail.
c) Force est de constater qu’aucun élément au dossier n’est à même de faire douter la Cour de céans de l’exactitude des conclusions du rapport d’examen clinique du SMR du 5 avril 2017 ni d’apporter un élément pertinent qui aurait été omis dans le cadre de ce dernier. Par conséquent, les avis du SMR des 9 mai et 13 septembre 2018 doivent être validés et c’est à juste titre que l’OAI a réduit le droit à la rente dès le 1er août 2018 et pour le futur. Mal fondé, le grief est rejeté.
9. Enfin, la recourante indique que ses limitations fonctionnelles sont extrêmement nombreuses, rendant dans la pratique la recherche d'un travail strictement impossible. Elle soutient n’être apte pour aucun travail dans la réalité actuelle du marché.
a) Lorsqu'il s'agit d'examiner dans quelle mesure un assuré peut encore exploiter économiquement sa capacité de gain résiduelle sur le marché du travail entrant en considération pour lui (art. 16 LPGA), on ne saurait subordonner la concrétisation des possibilités de travail et des perspectives de gain à des exigences excessives; l'examen des faits doit être mené de manière à garantir dans un cas particulier que le degré d'invalidité est établi avec certitude. Il s'ensuit que pour évaluer l'invalidité, il n'y a pas lieu d'examiner la question de savoir si un invalide peut être placé eu égard aux conditions concrètes du marché du travail, mais uniquement de se demander s'il pourrait encore exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail lorsque les places de travail disponibles correspondent à l'offre de la main d'œuvre (arrêts du TF du 19.03.2009 [9C_437/2008] cons. 4.2 et du 26.04.2016 [8C_466/2015] cons. 3.2.2). On ne saurait toutefois se fonder sur des possibilités de travail irréalistes. Ainsi, on ne peut parler d'une activité exigible au sens de l'article 16 LPGA lorsqu'elle ne peut être exercée que sous une forme tellement restreinte qu'elle n'existe pratiquement pas sur le marché général du travail ou que son exercice suppose de la part de l'employeur des concessions irréalistes et que, de ce fait, il semble exclu de trouver un emploi correspondant. S'il est vrai que des facteurs tels que l'âge, le manque de formation ou les difficultés linguistiques jouent un rôle non négligeable pour déterminer dans un cas concret les activités que l'on peut encore raisonnablement exiger d'un assuré, ils ne constituent pas, en règle générale, des circonstances supplémentaires qui, à part le caractère raisonnablement exigible d'une activité, sont susceptibles d'influencer l'étendue de l'invalidité, même s'ils rendent parfois difficile, voire impossible la recherche d'une place et, partant, l'utilisation de la capacité de travail résiduelle (arrêt du TF du 19.03.2009 [9C_437/2008] cons. 4.2 et les références).
b) En l’espèce, sur le plan strictement médical, les limitations fonctionnelles dont souffre la recourante ne relèvent que du domaine somatique. Si les avis médicaux ne s’accordent pas nécessairement sur la capacité de travail résiduelle de la recourante, ses limitations fonctionnelles telles qu’arrêtées par le SMR ne sont pas discutées. La recourante ne les conteste d’ailleurs pas.
Ceci étant, on ne peut que regretter que l'administration n'ait mentionné aucune activité raisonnablement exigible au cours de l'instruction. Toutefois, vu le large éventail d'activités simples et répétitives que recouvre le marché du travail en général – et le marché du travail équilibré en particulier –, on ne saurait reprocher à l'autorité précédente d'avoir retenu qu'un nombre significatif d'entre elles (qui correspondent à un emploi léger et adapté à des contraintes mécaniques lombaires) ne nécessitent aucune formation spécifique et sont adaptées aux limitations fonctionnelles de la recourante. Au demeurant, âgée de 55 ans au moment où l'exigibilité de l'exercice d'une activité adaptée a été constatée (ATF 138 V 457 cons. 3.3), la recourante se trouvait encore loin de l'âge à partir duquel la jurisprudence considère généralement qu'il n'existe plus de possibilités réalistes d'exploiter la capacité résiduelle de travail sur un marché du travail supposé équilibré (arrêt du TF du 05.04.2017 [9C_789/2016] cons. 5.2 et la référence).
c) Par conséquent, on ne saurait reconnaître à la recourante une impossibilité complète de mettre en œuvre toute capacité résiduelle. Mal fondé, ce grief doit être rejeté.
10. Il ressort des considérants qui précédent que le recours doit être partiellement admis. La décision du 9 novembre 2018 doit ainsi être partiellement réformée en ceci que l’assurée à droit, du 1er janvier au 31 mars 2016, à une rente entière d’invalidité en lieu et place d’un quart de rente. Il appartiendra à l’intimé de refaire les calculs du montant de la rente pour cette période. Pour le surplus, le recours doit être rejeté et, en particulier, la décision du 9 novembre 2018 est confirmée s’agissant des périodes ultérieures au 31 mars 2016.
11. La recourante sollicite l’octroi de l’assistance judiciaire.
Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite sont en principe remplies si les conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec, si le requérant est dans le besoin et si l'assistance d'un avocat est nécessaire ou du moins indiquée (art. 61 let. f LPGA; ATF 127 I 202 cons. 3b). En l'espèce, l’ensemble de ces conditions sont remplies, la recourante émargeant aux services sociaux. Dès lors, l'assistance judiciaire doit être accordée et Me Q.________ commis d'office. Ce dernier est invité à produire les renseignements utiles à la fixation de sa rémunération d'office dans un délai de 10 jours dès réception du présent arrêt. Il est rendu attentif qu'à défaut, il sera statué sur la base du dossier (art. 16 LI-CPC par renvoi de l'art. 60i LPJA).
Vu l’issue du litige et le caractère onéreux de la procédure (art. 69 al. 1bis LAI), les frais de cette dernière se montant à 440 francs, seront à charge de la recourante par 300 francs, montant provisoirement avancé par l’Etat dans le cadre de l’assistance judiciaire, et à charge de l’intimé par 110 francs.
Enfin, obtenant gain de cause partiellement, la recourante a droit à une indemnité de dépens partielle qui peut être fixée ex aequo et bono à 500 francs tout compris, à charge de l’intimé (art. 61 let. g LPGA).
Par ces motifs, la Cour de droit public
1. Admet partiellement le recours.
2. Réforme la décision du 9 novembre 2018 relative à la période du 1er janvier au 31 mars 2016 de la manière suivante : "Du 1er janvier 2016 au 31 mars 2016, X.________ a droit à une rente entière d’invalidité".
3. Rejette le recours pour le surplus.
4. Accorde l'assistance judiciaire à X.________ et désigne Me Q.________ en qualité d'avocat d'office.
5. Les frais de la procédure par 440 francs seront mis à la charge de la recourante par 330 francs, montant avancé par l’Etat dans le cadre de l’assistance judiciaire, et à la charge de l'OAI par 110 francs.
6. Alloue à X.________ une indemnité de dépens réduite de 500 francs tout compris, à la charge de l’intimé, payable en mains de l'Etat.
7. Invite Me Q.________ à produire dans un délai de dix jours dès réception du présent arrêt les renseignements utiles à la fixation de sa rémunération d’office et l’informe qu’à défaut, il sera statué sur la base du dossier.
Neuchâtel, le 14 juin 2019
Art. 491RAI
Tâches
1 Les services médicaux régionaux évaluent les conditions médicales du droit aux prestations. Ils sont libres dans le choix de la méthode d'examen appropriée, dans le cadre de leurs compétences médicales et des directives spécialisées de portée générale de l'office fédéral.
2 Les services médicaux régionaux peuvent au besoin procéder eux-mêmes à des examens médicaux sur la personne des assurés. Ils consignent les résultats de ces examens par écrit.
3 Les services médicaux régionaux se tiennent à la disposition des offices AI de leur région pour les conseiller.
1 Nouvelle teneur selon le ch. I de l'O du 28 sept. 2007, en vigueur depuis le 1er janv. 2008 (RO 2007 5155).