A. X.________ a été engagée pour une durée indéterminée à 100 %, dès le 1er décembre 2016, au sein de Neuchâtel organise le maintien à domicile (ci-après : NOMAD), en qualité d’auxiliaire de vie. Les rapports de travail étaient soumis à la CCT Santé 21 de droit public.
Le 26 mai 2017, elle a été convoquée à un entretien avec la responsable d’équipe et la responsable du Centre NOMAD régional lors duquel un problème survenu le 23 mai 2017 dans le cadre de la prise en charge d’une cliente - qui devait être accompagnée au bus-navette chargé de la conduire à l’hôpital de jour de Landeyeux - a été soulevé. X.________ a été informée qu’elle serait revue en entretien avec la direction des ressources humaines. Sur cette base, elle a été convoquée à une séance le 29 mai 2017 lors de laquelle le directeur des ressources humaines et la directrice opérationnelle lui ont remis une lettre de résiliation pour justes motifs au sens de l’art. 3.2.1, al. 3 CCT Santé 21. L’employeur reprochait à X.________ d’avoir, en dépit des instructions qui lui avaient été communiquées, laissé une cliente livrée à elle-même le 23 mai 2017 alors que cette dernière avait besoin d’un suivi constant. Par courrier du 31 mai 2017, NOMAD a communiqué à l’intéressée des informations en matière d’assurance. Par courrier du 7 juin 2017, il a indiqué les voies de droit relatives à la décision de résiliation tout en précisant que celles-ci auraient été communiquées oralement lors de l’entretien du 29 mai 2017.
B. Par acte du 27 juin 2017, X.________ saisit la Cour de droit public du Tribunal cantonal d’un recours contre la décision du 29 mai 2017. Elle conclut, avec suite de frais et dépens, principalement à l’annulation de la décision et au renvoi du dossier à l’intimé pour nouvelle décision au sens des considérants, subsidiairement, à ce qu’il soit dit que la résiliation immédiate des rapports de travail est injustifiée, à sa réintégration et à ce que l’effet suspensif au recours soit restitué. Très subsidiairement, à titre d'action de droit administratif, elle conclut à l’octroi d’une indemnité pour licenciement abusif équivalente à douze mois de salaire.
C. Dans ses observations du 22 septembre 2017 NOMAD conclut au rejet du recours.
D. Les parties répliquent et dupliquent.
CONSIDERANT
en droit
1. a) Interjeté dans les formes et délai légaux, le recours est recevable.
b) La présente procédure porte également, à titre subsidiaire, sur des prétentions pécuniaires (indemnité pour résiliation immédiate), dont la recevabilité, respectivement le bien-fondé seront, cas échéant, examinés ci-après (cons. 3).
2. a) Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de nature formelle ancrée à l'article 29 al. 2 Cst. féd. Sa violation conduit à l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (ATF 137 I 195 cons. 2.2, 135 I 279 cons. 2.6.1). Une violation du droit d'être entendu peut être réparée dans une instance ultérieure si l'autorité exerce un pouvoir d'examen complet et qu'il n'en résulte aucun préjudice pour le justiciable (ATF 136 III 174 cons. 5.1.2, 135 I 279 cons. 2.6.1; arrêt du TF du 02.04.2012 [4A_37/2012] cons. 3). Cependant, le pouvoir de cognition limité de l'autorité de recours en matière de fonction publique (art. 33 let. d LPJA, par renvoi de l'article 12 de la CCT Santé 21) ne permet en principe pas une réparation du vice devant la Cour de céans. Le grief de violation du droit d'être entendu doit être examiné avant tout autre (ATF 135 I 279 cons. 2.6.1; arrêt du TF du 14.06.2012 [5A_278/2012] cons. 4.1).
Le droit d'être entendu est à la fois une institution servant à l'instruction de la cause et une faculté de la partie, en rapport avec sa personnalité, de participer au prononcé de décisions qui touchent à sa situation juridique (ATF 135 II 286 cons. 5.1, 135 I 187 cons. 2.2 et la référence citée). Il comprend notamment pour le justiciable le droit d'avoir accès au dossier, de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 135 I 279 cons. 2.3, 133 I 270 cons. 3.1, 127 I 54 cons. 2b, 126 I 15 cons. 2a/aa). En tant que droit de participation, le droit d'être entendu englobe donc tous les droits qui doivent être attribués à une partie pour qu'elle puisse faire valoir efficacement son point de vue dans une procédure (ATF 132 II 485 cons. 3.2, 129 II 497 cons. 2.2 et les références citées; arrêt du TF du 12.03.2012 [8C_866/2010] cons. 4.1.2).
En outre, le droit d'être entendu doit pouvoir être exercé avant que la décision ne soit prise. Ce droit n'est en conséquence pas respecté dans le cas où le fonctionnaire est convié à un entretien au cours duquel la décision litigieuse, déjà prête et signée, lui est remise. Le droit d'être entendu est également un droit de s'exprimer. Cela signifie qu'il faut donner la possibilité au collaborateur d'argumenter et de proposer. En invitant l'employé à se prononcer, il faut clairement lui indiquer l'intention de décision. L’employé ou le fonctionnaire ne présentera en effet probablement pas les mêmes arguments s'il pense qu'il ne va être confronté qu'à des reproches ou s'il sait que des mesures sont envisagées à son encontre (Steffen, Le droit d'être entendu du collaborateur de la fonction publique : juste une question de procédure ?, in RJN 2005, p. 55s, 64, 65, et les références).
b) En l’espèce, la recourante a été entendue le 26 mai 2017 sur les événements qui se sont produits le 23 mai précédent. La recourante soutient qu’elle n’a alors pas été informée des intentions de NOMAD, ce que cette dernière ne conteste pas. Il ne résulte pas non plus du dossier que la recourante aurait été informée de quelque autre manière entre le 26 et le 29 mai 2017 de la volonté de NOMAD de sanctionner le comportement qui lui était reproché. A cet égard, on ne saurait suivre l’intimé lorsqu’il soutient que X.________ aurait pu déduire de sa convocation par la direction des ressources humaines la possibilité d’un renvoi immédiat. Au regard de la protection des droits de la recourante telle qu’elle ressort de la jurisprudence précitée, l’intimé devait expressément informer X.________ de sa volonté de mettre fin aux rapports de travail ou du moins qu’une sanction était envisagée. Ces règles n’ayant pas été respectées en l’espèce, le grief de violation du droit d’être entendu est bien fondé.
c) Comme déjà mentionné (cf. cons. 2a ci-dessus) en matière de résiliation de rapports de service, l’existence d’un juste motif, qui est un concept juridique indéfini, dépend très largement de constatations de fait qui entrent dans le pouvoir d’appréciation de l’autorité de décision. Dans la mesure où la Cour de céans ne jouit pas d’un plein pouvoir de cognition et qu’il ne s’agit pas d’une pure question de droit, la violation du droit d’être entendu ne peut être réparée dans le cadre du présent recours. Comme ce droit est de nature purement formelle, il existe indépendamment des chances de succès du recours (ATF 122 II 469 cons. 4a, 109 Ia 226).
3. Il résulte de ce qui précède que, bien fondé, le recours doit être admis et la décision du 29 mai 2017 de NOMAD doit être annulée, ce qui rend sans objet la conclusion subsidiaire tendant à l’octroi d’une indemnité pour résiliation immédiate des rapports de service ainsi que la conclusion tendant à la restitution de l’effet suspensif au recours.
4. Vu le sort de la cause, il n'est pas perçu de frais de justice (art.47 al.2 LPJA). La recourante assistée d'un syndicat ne fait pas valoir de frais particuliers, de sorte qu'il ne lui sera pas alloué de dépens (art. 48 LPJA).
Par ces motifs, la Cour de droit public
1. Admet le recours et annule la décision de NOMAD du 29 mai 2017.
2. Dit que la demande tendant à l’octroi d’une indemnité pour résiliation immédiate injustifiée des rapports de service et la requête tendant à la restitution de l’effet suspensif sont sans objet.
3. Statue sans frais et ordonne la restitution de ses avances de frais à la recourante par 3'630 francs (CHF 880 + CHF 2'750).
4. N'alloue pas de dépens.
Neuchâtel, le 6 février 2018