A. X., contrôleuse du marché de l'emploi au sein de l'office S., a fait l'objet d'une décision de Y. de suspension provisoire avec maintien du traitement, le 11 août 2010. Cette suspension était motivée par l'enquête parlementaire, alors en cours, menée par la commisison P. sur l'activité de C. et notamment l'engagement de la prénommée à l'office S., qui dépendait de lui. Ladite décision a cependant été annulée par le Tribunal administratif par arrêt du 17 septembre 2010, en raison d'une violation du droit d'être entendu.
Par décision du 22 février 2011, le Service des ressources humaines (SRH) a résilié les rapports de travail de X. avec effet au 30 avril 2011, délai reporté ensuite au 31 mai 2011. Le SRH a invoqué les exigences imposées par le bon fonctionnement de l'office S. dans le contexte de l'affaire C., une plainte pénale déposée entre-temps contre l'intéressée, et le comportement de celle-ci, préjudiciable pour l'image de l'Etat. Le recours adressé par X. contre cette décision à la Cour de droit public a été transmis au Département de la justice, de la santé et de la sécurité (DJSS) par arrêt du 12 avril 2011, ledit département étant compétent pour en connaître en première instance. La Cour a toutefois relevé dans ses considérants que X. invoquait en outre, dans son recours, un déni de justice de la part de Y. parce que celui-ci n'avait pas encore statué sur la suspension provisoire annulée par arrêt du 17 septembre 2010, et a annoncé que cette question ferait l'objet d'une procédure distincte.
B. X. a fait valoir dans son recours précité qu'après l'arrêt du 17 septembre 2010, Y. lui avait donné la possibilité de s'exprimer et qu'elle avait présenté ses déterminations (datées du 10.10.2010) par lesquelles elle s'opposait à sa suspension, mais que Y. n'avait toujours pas rendu de décision alors que par nature la suspension provisoire appelait un traitement rapide, que ses demandes réitérées de pouvoir reprendre le travail avaient été rejetées, et que cela était constitutif d'un déni de justice.
C. Dans ses observations du 18 mai 2011, Y. conclut au rejet du recours pour autant qu'il soit recevable.
CONSIDERANT
en droit
1. Dirigé contre Y., le recours pour déni de justice en matière de suspension provisoire est en principe recevable devant la Cour de céans (art. 28 al. 1 et 33 let. e LPJA; 82 al. 3 LSt).
2. Lorsque la bonne marche de l'administration ou des établissements d'enseignement public l'exige, l'autorité de nomination peut, à titre provisoire, ordonner à un titulaire de fonction publique de suspendre immédiatement son activité (art. 51 al. 1 LSt).
En même temps qu'il l'invitait à se prononcer sur l'éventualité d'une nouvelle décision de suspension provisoire (après que la suspension eut été annulée par arrêt du 17.09.2010), Y. a informé l'intéressée de l'ouverture d'une procédure de renvoi pour justes motifs ou raison grave au sens de l'article 45 LSt, objet de la décision du 22 février 2011 actuellement examinée, sur recours, par le DJSS. L'arrêt du 17 septembre 2010 ne renvoyait pas la cause (concernant la suspension provisoire) à l'autorité intimée pour nouvelle décision, et n'obligeait donc pas Y. à statuer à nouveau sur cette question. En ce sens, cette procédure n'est plus pendante, et la recourante n'a, en outre, pas d'intérêt digne de protection (art. 32 let. a LPJA) à solliciter une décision de suspension, alors que Y. y a de facto renoncé vu la résiliation, par le SRH, des rapports de service avec effet au 31 mai 2011. Le grief de déni de justice est ainsi dénué d'objet et il n'y a de ce fait pas lieu d'entrer en matière sur le recours.
3. Il n'est généralement pas perçu de frais de justice en matière de rapports de service, ni alloué de dépens à l'administré non représenté par un mandataire (art. 47 al. 4, 48 LPJA).
Par ces motifs, la Cour de droit public
1. Dit que le recours est sans objet.
2. Statue sans frais et sans dépens.
Neuchâtel, le 30 mai 2011