A. X., né en 1968, originaire de Yougoslavie, père de deux filles, nées respectivement en juin 1993 et septembre 1995, qui vivent au […], a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour suite à son mariage, le 17 septembre 1997, avec une ressortissante suisse, dont il a eu une fille le [...] 2000. Le 12 mars 2003, la prolongation de cette autorisation, ainsi que l'octroi d'un permis d'établissement lui ont été refusés dans la mesure où il vivait séparé de son épouse depuis le mois de janvier 2000. Cette décision a été confirmée respectivement par le Département de l'économie (décision du 01.04.2004), le Tribunal administratif (arrêt du 23.08.2004) et le Tribunal fédéral (arrêt du 01.10.2004).
Le 5 avril 2005, reconsidérant sa décision du 12 mars 2003, le Service des étrangers a prolongé l'autorisation de séjour du prénommé. Le 1er novembre 2006, ce dernier, qui s'était entre-temps divorcé (jugement de divorce entré en force le 26.09.2006) a été mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement. Le 26 mars 2009, il s'est marié au Kosovo avec S., qui est entrée en Suisse le 1er mai 2009 et est la mère de ses deux filles aînées, ainsi que d'un garçon né en septembre 2001. De cette union est née A., le [...] 2009, à La Chaux-de-Fonds.
Par décision du 1er février 2010, le Service des migrations (ci-après : le service) a refusé l'octroi d'une autorisation de séjour à S., ainsi que d'une autorisation d'établissement à A. et leur a fixé un délai au 15 mars 2010 pour quitter la Suisse. Il a retenu que le regroupement familial sollicité par X. constituait un abus de droit au motif que la vie commune n'était plus effective depuis 1993 et que le mariage ne tendait qu'à permettre d'assurer à l'épouse et aux enfants communs du couple un droit de séjour en Suisse.
Par prononcé du 7 septembre 2010, le Département de l'économie (ci-après : le département) a rejeté, pour les mêmes motifs, le recours formé par les époux X. contre cette décision.
B. X. interjette recours auprès du Tribunal administratif contre cette décision en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, à ce qu'il soit dit et constaté que les conditions du regroupement familial sont remplies, à ce que le dossier soit renvoyé au service des migrations pour qu'il délivre les autorisations litigieuses et qu'en tout état de cause, il soit constaté que le renvoi de son épouse n'est pas en l'état raisonnablement exigible. En résumé, il fait valoir qu'il n'a jamais été marié ni civilement ni coutumièrement avec S. avant le 26 mars 2009, que son mariage n'est pas fictif et que les cas de couples qui, après s'être séparés, reforment une communauté conjugale ne sont pas rares. Il ajoute que son épouse est atteinte dans sa santé psychique et traitée pour une grave dépression.
C. Sans formuler d'observations, le département conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Dans ses observations, le service conclut également au rejet du recours, sous suite de frais.
D. Ultérieurement, le recourant a déposé un rapport médical du Centre neuchâtelois de psychiatrie du 25 novembre 2010 attestant que S. souffre d'un trouble dépressif sévère ainsi que d'un trouble panique.
CONSIDERANT
en droit
1. Interjeté dans les formes et délai légaux, le recours est recevable.
Dès le 1er janvier 2011, la Cour de droit public du Tribunal cantonal a succédé au Tribunal administratif et traite les causes qui avaient été déférées à cette dernière instance (art. 47, 83 OJN).
2. L'objet de la contestation est le refus prononcé par le service d'octroyer une autorisation de séjour à S. et une autorisation d'établissement à A. Ni le statut de X., au bénéfice d'une autorisation d'établissement depuis le 1er novembre 2006, ni la situation des deux filles aînées des époux X., auxquelles l'entrée en Suisse et l'octroi d'une autorisation d'établissement ont été refusés (décision du service du 22.03.2007 confirmée sur recours par le département le 14.12.2007) ne sont ici en cause.
3. a) Selon l'article 43 LEtr, le conjoint étranger du titulaire d'une autorisation d'établissement ainsi que ses enfants célibataires étrangers de moins de 18 ans ont droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui (al. 1). Les enfants de moins de douze ans ont droit à l'octroi d'une autorisation d'établissement (al. 3).
Les conditions du droit au regroupement familial posées par l'article 43 al. 1 et 3 LEtr sont en l'espèce réunies. Il n'est pas contesté que S. et A., âgée de moins de douze ans, vivent en ménage commun avec X., titulaire d'une autorisation d'établissement. Les autorités précédentes ont toutefois estimé qu'en vertu de l'article 51 al.2 let. a LEtr le droit au regroupement familial s'était éteint, car il était invoqué abusivement. Mettant en doute la réalité de l'union conjugale au motif que les époux avaient vécu séparément durant seize ans, elles ont considéré que la famille X. n'avait aucune raison de se reconstituer en Suisse après autant d'années de séparation.
b) Il y a mariage fictif lorsque celui-ci est contracté dans le seul but d'éluder les dispositions de la loi fédérale sur les étrangers, en ce sens que les époux (voire seulement l'un d'eux) n'ont jamais eu la volonté de former une véritable communauté conjugale. Est considérée comme abusive l'invocation d'un mariage qui n'a plus de substance et n'existe plus que formellement parce que l'union conjugale apparaît définitivement rompue, faute de chances de réconciliation entre les époux. Dans l'une et l'autre de ces hypothèses, l'intention réelle des époux ne peut souvent pas être établie par une preuve directe, mais seulement grâce à des indices, comme l'a précisé le Tribunal fédéral sous l'empire de l'ancien droit. Cette jurisprudence peut être reprise sous le nouveau droit. Constituent notamment les indices d'un mariage fictif ou d'un abus de droit les éléments suivants : le fait que l'époux étranger soit menacé d'un renvoi ou ne puisse obtenir une autorisation de séjour autrement que par un mariage; l'existence d'une sensible différence d'âge entre les époux; les circonstances particulières de leur rencontre et de leur relation, tels une courte période de fréquentation avant le mariage ou le peu de connaissances que les époux ont l'un de l'autre, etc. Lorsque la vie commune a présenté une certaine durée et qu'elle n'apparaît pas d'emblée de pure façade, la jurisprudence pose des exigences relativement élevées pour admettre l'existence d'un mariage fictif sur la seule base d'indices. Ceux-ci doivent alors être clairs et concrets. En outre, la preuve d'un mariage fictif doit être apportée par l'autorité, sous réserve de l'obligation des parties de collaborer à l'établissement des faits. En présence d'indices sérieux d'un mariage fictif, il appartient aux parties de démontrer, par une argumentation circonstanciée, l'existence d'une relation conjugale réellement vécue et voulue (arrêt du TF du 23.02.2011 [2C_811/2010] cons.4.4.1 et 4.4.2 et les nombreuses références).
4. En l'espèce, sous le coup d'une décision de refus de prolongation de son autorisation de séjour et de refus d'octroi d'une autorisation d'établissement - confirmée respectivement par le département, le Tribunal administratif et le Tribunal fédéral -, X. a néanmoins été mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement le 1er novembre 2006. Son mariage avec S. le 26 mars 2009 n'avait donc pas comme objectif de régulariser sa situation en Suisse. Ce mariage apparaissait en revanche comme le seul moyen pour la prénommée et l'enfant qu'elle portait d'obtenir un titre de séjour en Suisse. Si c'est dès lors à juste titre que le service a examiné la réalité de l'union conjugale, il n'a toutefois pas rapporté la preuve indiscutable que ce mariage était fictif et qu'il avait été utilisé à l'encontre de son but. Car, même à supposer que les époux X. aient déjà été mariés dans leur pays d'origine, selon la coutume, en 1991 et, officiellement, en 2000, et qu'ils aient divorcé en 2002, cela ne rend pas encore abusive l'invocation de leur union actuelle si celle-ci est réellement vécue. Or, aucun indice sérieux ne laisse penser que les époux X. n'avaient pas, au moment de leur mariage en 2009, la volonté de former une véritable communauté conjugale et qu'ils vivent depuis lors en ménage commun avec leur fille, née en 2009, seulement pour la façade.
Il s'ensuit qu'il n'apparaît pas abusif de la part de S. et A. de se prévaloir de leur droit au regroupement familial et qu'il convient en conséquence d'annuler la décision attaquée, ainsi que celle du service du 1er février 2010, et de renvoyer la cause à cette dernière autorité pour qu'elle accorde les autorisations de séjour et d'établissement sollicitées au titre du regroupement familial.
5. Vu le sort de la cause, il sera statué sans frais (art. 47 al. 2 LPJA). Obtenant gain de cause, le recourant a droit à des dépens (art. 48 al. 1 LPJA), qui doivent être définis en application de l'arrêté temporaire du Conseil d'Etat, du 22 décembre 2010, fixant les tarifs des frais, des émoluments de chancellerie et des dépens en matière civile, pénale et administrative.
Me J. réclame des honoraires, frais et TVA compris, de 1'324.55 francs. Aussi bien l'activité alléguée que le tarif appliqué peuvent être admis, de sorte que les dépens seront fixés sur cette base.
Il appartiendra en outre au département de statuer sur les dépens de première instance dus au recourant.
Par ces motifs, la Cour de droit public
1. Annule la décision attaquée, ainsi que celle du Service des migrations du 1er février 2010.
2. Renvoie le dossier audit service pour qu'il délivre une autorisation de séjour à S., et une autorisation d'établissement à A. selon les considérants.
3. Statue sans frais et ordonne la restitution de son avance de frais au recourant.
4. Alloue au recourant une indemnité de dépens de 1'324.55 francs à la charge de l'Etat.
5. Invite le Département de l'économie à statuer sur les dépens de première instance de recours en faveur du recourant.
Neuchâtel, le 11 novembre 2011
Art. 43 LETR
Conjoint et enfants étrangers du titulaire d'une autorisation d'établissement
1 Le conjoint étranger du titulaire d’une autorisation d’établissement ainsi que ses enfants célibataires étrangers de moins de 18 ans ont droit à l’octroi d’une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité, à condition de vivre en ménage commun avec lui.
2 Après un séjour légal ininterrompu de cinq ans, le conjoint a droit à l’octroi d’une autorisation d’établissement.
3 Les enfants de moins de douze ans ont droit à l’octroi d’une autorisation d’établissement.
Art. 51 LETR
Extinction du droit au regroupement familial
1 Les droits prévus à l’art. 42 s’éteignent dans les cas suivants:
a.
ils sont invoqués abusivement, notamment pour éluder les dispositions de la présente loi sur l’admission et le séjour ou ses dispositions d’exécution;
b.
il existe des motifs de révocation au sens de l’art. 63.
2 Les droits prévus aux art. 43, 48 et 50 s’éteignent:
a.
lorsqu’ils sont invoqués abusivement, notamment pour éluder les dispositions de la présente loi sur l’admission et le séjour ou ses dispositions d’exécution;
b.
s’il existe des motifs de révocation au sens de l’art. 62.