TRIBUNAL CANTONAL COUR DE DROIT ADMINISTRATIF ET PUBLIC
Arrêt du 20 novembre 2024
Composition
M. André Jomini, président; MM. Fernand Briguet et M. Jean-Etienne Ducret, assesseurs; M. Quentin Ambrosini, greffier.
Recourant
A.________, à ********,
Autorité intimée
Commission de recours de la Haute école pédagogique, à Lausanne,
Autorité concernée
HAUTE ECOLE PEDAGOGIQUE (HEP), Comité de direction, à Lausanne.
Objet
Affaires scolaires et universitaires
Recours A.________ c/ décision sur recours de la Commission de recours de la Haute école pédagogique du 6 juin 2024
Vu les faits suivants:
A. Né en ********, A.________ est titulaire d'un diplôme de licence, option Mathématiques, délivré en ******** par la Faculté de sciences de l'Université B.________ de ********, en ********, avec la mention "assez bien". Il a également obtenu un diplôme d'études universitaires générales (DEUG), option Mathématiques/Physique, délivré en ******** par la Faculté précitée, avec la mention "passable".
Le diplôme de licence de l'intéressé correspond formellement à un bachelor délivré par une haute école suisse d'après une évaluation comparative réalisée en janvier 2021 par l'association swissuniversities – il s'agit de la Conférence des recteurs des hautes écoles suisses (cf. art. 19 s. de la loi sur l'encouragement et la coordination des hautes écoles [LEHE; RS 414.20]).
B. Le 20 avril 2022, A.________ a été admis à la Haute école pédagogique (HEP) du canton de Vaud, où il a entrepris des études en vue de l'obtention d'un Master en enseignement secondaire 1 (MS1) en mathématiques. Au niveau suisse, le champ professionnel de l'enseignement au degré secondaire 1 correspond aux années 9 à 11 HarmoS de la scolarité obligatoire. Les principes généraux de la formation suivie par A.________ ainsi que ses différents champs scientifiques sont définis par le plan d'études de la filière éponyme. D'après ce plan, le programme de formation des enseignants du degré secondaire 1 s'articule autour de trois domaines: la formation en didactique disciplinaire (consistant en la transmission du savoir), la formation en sciences de l'éducation (interactions de l'enseignant avec les élèves, relations entre les élèves eux-mêmes), et la formation pratique (dialogue avec des praticiens formateurs). Les thématiques sont organisées en modules, éléments de formation obligatoires ou à choix, composés de cours et de séminaires.
C. Au semestre de printemps 2023, A.________ a notamment suivi le module de didactique disciplinaire MSMAT11 (sur le codage des modules, cf. plan d'études MS1, chap. 3.2.2, p. 12), intitulé "Didactique des mathématiques au secondaire 1". D'après son descriptif, le module MSMAT11, qui vaut 6 crédits ECTS, présente les contenus des programmes des mathématiques du secondaire 1 et permet de mettre en évidence les concepts et outils didactiques particulièrement adaptés à cette discipline.
Le module est certifié par un travail individuel de l'étudiant qui, au cours du semestre, doit préparer et donner une séquence d'enseignement en mathématiques en classe de secondaire 1, puis rédiger un rapport de deux pages présentant la séquence. Il ajoute en annexes à son rapport le travail spécifique (TS) donné aux élèves ainsi que sa correction. Lors de l'examen proprement dit, l'étudiant donne la défense orale de son travail durant 30 minutes devant le jury du module. Plusieurs niveaux de maîtrise sont évalués lors de la certification du module:
"1.1 Manifester une compréhension critique des savoirs à enseigner afin de favoriser la création de liens significatifs chez les élèves
4.2 Concevoir des activités d'enseignement-apprentissage variées, cohérentes et fondées aux plans didactique et pédagogique, et d'un niveau de complexité permettant la progression des élèves dans le développement de leurs compétences
5.1 Utiliser à bon escient un éventail de techniques d'évaluation formelle et informelle (dont notamment l'autoévaluation des élèves)
8.2 Utiliser efficacement les possibilités des TIC pour les différentes facettes de son activité intellectuelle et professionnelle: communication, recherche et traitement de données, évaluation, interaction avec les collègues ou des experts, etc."
Les critères potentiellement utilisés pour le premier niveau (1.1) sont les suivants:
"Résolution(s) correcte(s) de la (des) tâche(s) d'introduction et des autres tâches proposées.
Pertinence de l'analyse mathématique de la notion à enseigner.
Maîtrise du vocabulaire et des notations mathématiques (correction et précision)."
Les modalités du travail demandé pour la certification du module MSMAT11, les niveaux de maîtrise et les critères potentiellement évalués et utilisés lors de l'évaluation certificative étaient connus de A.________, qui a lui-même produit les documents, en les annotant, à l'appui de son recours administratif (cf. infra let. F).
D. Lors de la session d'examens du mois de juin 2023, A.________ a subi un premier échec pour le module MSMAT11. L'intéressé n'a pas contesté ce résultat, qui lui a été notifié par décision du Comité de direction de la HEP du 12 juillet 2023.
E. A.________ s'est présenté pour sa seconde tentative lors de la session d'examens des mois d'août et de septembre 2023 et a obtenu la note 3 pour ce même module. Le Comité de direction de la HEP a communiqué à A.________ son échec définitif à la formation de Master en enseignement secondaire 1 (MS1) par décision du 21 septembre 2023. Le comité a remis, à l'appui de sa décision, le formulaire "Echec à la certification (note F ou inférieure à 4 ou échec)", indiquant les membres du jury désignés, soit la responsable du module et une autre examinatrice, et les motifs de l'échec:
"Niveau de maîtrise non atteints:
1.1 Manifester une compréhension critique des savoirs à enseigner afin de favoriser la création de liens significatifs chez les élèves avec trois critères non atteints: résolution correcte des tâches, Pertinence de l'analyse mathématique de la notion à enseigner : sens de l'objet mathématique et des objectifs de la séquence, Maîtrise du vocabulaire et des notations mathématiques (correction et précision)"
F. Le 27 septembre 2023, A.________ a adressé un recours administratif à la Commission de recours de la HEP, contestant son échec définitif.
Au cours de la procédure de recours administratif, plusieurs échanges ont eu lieu entre le recourant et la HEP. Cette dernière a produit, à la demande de l'autorité de recours, plusieurs pièces, notamment les éléments relatant le parcours académique de l'intéressé au sein de la HEP, les relevés de ses notes, ses épreuves d'examen, ainsi que les documents élaborés par les examinateurs relatifs au déroulement de l'examen et à l'appréciation des prestations de l'étudiant. Un document intitulé "[b]ref procès-verbal relatant le déroulement de l'examen", non-daté et non-signé, a été transmis à l'autorité de recours, dont on extrait ce qui suit:
"[…]
L'étudiant a présenté une séquence sur les transformations géométriques en 11VG2 (sujet imposé) pendant 15 minutes. Il s'en est suivi un moment d'environ 15 minutes de questions-réponses, questions posées par le jury pour que l'étudiant puisse apporter des éléments de correction mathématiques aux erreurs écrites dans le dossier et pour que l'étudiant puisse se rendre compte des problèmes relevant d'éléments didactiques et d'analyse du savoir mathématique écrits dans le dossier. Les réponses apportées par l'étudiant n'ont pas permis d'apporter les réponses mathématiques correctes et les connaissances didactiques attendues par rapport à l'analyse du savoir mathématique."
À la requête de l'autorité de recours, la HEP a ensuite produit un compte-rendu complémentaire du déroulement de l'examen oral de A.________. On en extrait ce qui suit:
"Aucun enregistrement de l'oral n'a eu lieu. Nous complétons le dossier par les questions posées à l'enseignant en en précisant les formulations sur la base de nos notes écrites.
[…]
Lors de la soutenance orale, le jury a posé des questions à l'étudiant dans l'objectif qu'il puisse corriger les erreurs mathématiques et les problèmes didactiques qui étaient présents dans le dossier écrit de l'étudiant et également présentés à l'oral. Malgré de nombreuses questions pour que l'étudiant se rende compte et puisse apporter des éléments de réponse aux erreurs mathématiques et problèmes rencontrés, l'étudiant n'a pas su apporter les éléments de réponse attendus.
Le jury a posé des questions à l'étudiant sur ces différents éléments. L'étudiant n'a pas su expliquer les propriétés "Transformation qui conserve l'alignement avec le centre" et "Transformation qui conserve l'orientation de la figure" et dire quelle transformation conservait ou non les différentes grandeurs. […]
Le jury a posé la question à l'étudiant pourquoi celui-ci n'avait pas repris la page 140 de l'aide-mémoire pour créer son exercice. L'étudiant a répondu qu'il avait écrit lui-même les propriétés de conservation des isométries et des homothéties sans utiliser l'aide-mémoire, qui est un document de référence pour les élèves au secondaire 1, mais aussi pour les enseignants.
[…]
Pour le critère "Pertinence de l'analyse mathématique de la notion à enseigner: sens de l'objet mathématique et des objectifs de la séquence", dans le dossier écrit ainsi qu'à l'oral, les transformations géométriques sont abordées dans la séquence principalement sous l'angle de la manipulation (géométrie perceptive voire instrumentée) et non des propriétés (géométrie déductive). Cette distinction entre géométrie perceptive, instrumentée et déductive a été travaillée lors du module et constitue un changement de paradigme dans l'enseignement de la géométrie entre le primaire […] et le secondaire 1. La géométrie du secondaire 1 repose sur les propriétés (géométrie instrumentée et géométrie déductive). […]
Concernant cet aspect de changement de géométrie entre le primaire et le secondaire 1, le jury a questionné l'étudiant sur les points mentionnés ci-dessus et sur le changement dans l'enseignement des transformations géométriques (sujet abordé depuis la 1-2P jusqu'à la 11ème) et celui-ci n'a pas su apporter d'éléments de réponse.
Le jury a questionné l'étudiant sur la définition d'une transformation géométrique et a questionné l'étudiant sur l'enseignement des transformations géométriques: à quel degré sont-elles enseignées? L'étudiant n'a pas apporté les éléments de réponse attendus.
[…]
Pour le critère "Maîtrise du vocabulaire et des notations mathématiques (correction et précision)":
Lors de la soutenance orale, l'étudiant a confondu la propriété de conservation de l'orientation avec celle de la conservation du sens des vecteurs.
L'étudiant a confondu les notions de dessin et figure (notions didactiques essentielles pour l'enseignement de la géométrie, travaillées dans le module et indiquées dans le lexique du PER [Plan d'études romand]). […]
Objectif du TS: "construire l'image d'une transformation isométrique et d'une homothétie" n'a pas de sens car on ne peut pas construire l'image d'une transformation géométrique."
Ce document, qui émane selon toute vraisemblance des deux membres du jury, n'est pas signé.
Enfin, la HEP a encore remis, à la demande de l'autorité de recours, le barème qui a été appliqué au module MSMAT11 à la session en cause, ainsi que la grille d'évaluation. On extrait ce qui suit de ses explications:
"Les modalités et exigences appliquées à la certification du module MSMAT11 sont indiquées dans le document de consignes de certification remis aux étudiants en début de semestre […]. En particulier, quatre niveaux de maîtrise sont évalués, au regard de critères spécifiques dont les étudiants ont été informés [cf. supra let. C]. […]
Pour que le module soit réussi, les quatre niveaux de maîtrise doivent être atteints. La non-atteinte d'un niveau de maîtrise entraîne la note "3". L'attribution de la note au-dessus de 4 dépend du nombre de points atteints par l'étudiant. En effet, au sein de chaque niveau de maîtrise évalué, des points pour chaque critère préalablement annoncé sont attribués au regard de la prestation de l'étudiant. Le seuil de réussite du niveau de maîtrise est de 2/3 ou 66% des points. Une grille d'évaluation de l'examen traduisant ces exigences est utilisée par le jury, qui attribue les points correspondant à chaque critère au regard de la prestation de l'étudiant. La grille d'évaluation de l'examen du recourant est […] produite en annexe à la présente.
Le recourant n'a pas atteint le niveau de maîtrise 1.1 [cf. supra let. E], qui comporte 12 points, et a ainsi obtenu la note "3". Les trois critères correspondant à ce niveau de maîtrise représentent chacun 4 points. Ainsi, pour valider le niveau 1.1, les étudiants devaient obtenir un minimum de 8 points (2/3 du niveau de maîtrise). En l'espèce, le recourant n'a obtenu aucun point au critère "résolution correcte des tâches", 2 points au critère "pertinence de l'analyse mathématique de la notion à enseigner" et 2 points au critère maîtrise du vocabulaire et des notations. Avec 4 points sur 12, soit en dessous du seuil de suffisance, le niveau de maîtrise 1.1 n'a pas été atteint par le recourant, qui a donc obtenu la note "3" conformément au barème précité […]."
Le recourant s'est déterminé sur les écritures et les pièces produites par la HEP. Il déplorait l'"acharnement d'une personne influente derrière [son] élimination" (cf. détermination du 11 décembre 2023) en mettant personnellement en cause la responsable du module MSMAT11, selon lui à l'origine de son échec définitif.
Par décision du 6 juin 2024, la Commission de recours de la HEP a rejeté le recours et confirmé la décision attaquée.
G. Le 17 juin 2024, A.________ a déposé un recours auprès de la Cour de droit administratif et public (CDAP) du Tribunal cantonal à l'encontre de cette décision. Il conclut implicitement à ce que sa réussite au module MSMAT11 soit prononcée, subsidiairement à ce qu'il lui soit donné la possibilité de repasser l'évaluation certificative. À titre procédural, il requiert d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire (exonération de la totalité des avances et sûretés, exonération des frais judiciaires, et assistance d'office d'un avocat). Au fond, le recourant impute son échec définitif à l'attitude prétendument malveillante de la responsable du module à son encontre. Il donne à ce propos les explications suivantes:
"Mon échec définitif, suite à ma présentation orale de l'examen du module MSMAT11, est la volonté de [la] responsable dudit module, qui aurait orchestré des conspirations et stratagèmes bien dissim[u]lés pour me mettre en échec définitif. Elle aurait également influencé tous les membres du jury en modifiant certaines parties du procès-verbal de la décision de ma mise en échec définitif. Ses agissements bien camouflés se sont déroulés durant tout le semestre de printemps 2023 à cause d'un événement qui eut lieu le 27 février 2023.
Le lundi 27 février 2023, entre 8 heures et 10 heures, je posai une question relative à une résolution erronée d'une inéquation de second degré que [la responsable du module] nous présentait au tableau. Bien que la solution soit fausse, ma question était de savoir si les inéquations du second degré faisaient partie du programme enseigné au secondaire 1. Cette question interpella toutes les autres membres de l'équipe du module, qui découvrirent par la suite la résolution fausse de l'inéquation. C'est depuis ce jour que notre formatrice a décidé de ne jamais me pardonner cette humiliation, c'est depuis ce jour que je signai, sans le savoir, mon échec définitif. S'en est, ensuite, suivie une longue période de conspirations et stratagèmes dissim[u]lés par la responsable du module pour me déclarer en premier échec, alors qu'elle n'était pas membre du jury de ma première présentation, en juin 2023."
Le 25 juillet 2024, le recourant a déposé une écriture complémentaire.
Dans sa réponse du 20 août 2024, la Commission de recours de la HEP conclut au rejet du recours.
La HEP s'est déterminée sur le recours le 10 septembre 2024, concluant implicitement à son rejet.
Le recourant a répliqué le 30 septembre 2024, maintenant implicitement ses conclusions.
H. Par ordonnance du 25 juin 2024, le juge instructeur a accordé au recourant le bénéfice de l'assistance judiciaire (exonération d'avances et des frais judiciaires).
Considérant en droit:
1. a) L'objet de la contestation est une décision sur recours de la Commission de recours de la HEP, confirmant l'échec définitif du recourant au module MSMAT11 de la formation de Master en enseignement secondaire 1 (MS1) en mathématiques.
Selon l'art. 3 de la loi sur la Haute école pédagogique (LHEP; BLV 419.11), la HEP est une école de niveau tertiaire à vocation académique et professionnelle. Elle vise un niveau d'excellence dans les domaines de la formation d'enseignants, de la didactique et des sciences de l'éducation (al. 1). Elle a pour mission, en particulier, d'assurer la formation de base en pédagogie, en didactique et en sciences de l'éducation d'enseignants des degrés secondaire I et secondaire II (al. 2 let. a 2ème tiret).
La décision prononçant l'échec définitif d'un étudiant dans le cadre de sa formation auprès de la HEP émane du Comité de direction (art. 74 al. 2 du règlement d'application de la LHEP [RLHEP; BLV 419.11.1]) et est susceptible de recours devant la Commission de recours de la HEP (art. 48 al. 1 LHEP; cf. ég. art. 91 al. 1 let. c RLHEP). La décision sur recours de la Commission de recours peut faire l'objet d'un recours de droit administratif devant le Tribunal cantonal (art. 92 al. 1 de la loi sur la procédure administrative [LPA-VD; BLV 173.36]), car le droit cantonal ne prévoit pas d'autre voie de droit.
b) L'art. 79 al. 1 2ème phr. LPA-VD (applicable par renvoi de l'art. 99 LPA-VD) dispose que l'acte de recours doit indiquer les motifs et les conclusions du recours. Le principe d'interdiction du formalisme excessif commande toutefois d'admettre la recevabilité de conclusions si, à la lecture du mémoire, on comprend clairement ce que veut le recourant (TF 2C_477/2020 du 17 juillet 2020 consid. 1.2). En l'occurrence, le recourant n'a pas pris de conclusions. On déduit de ses explications qu'il demande à la CDAP de réformer la décision attaquée et de prononcer sa réussite au module MSMAT11, subsidiairement de l'autoriser à repasser l'évaluation certificative. Il y a partant lieu d'admettre, sous l'angle du contenu et de la forme du mémoire, la recevabilité du recours. Ce dernier est pour le surplus déposé en temps utile (cf. art. 95 LPA-VD), le recourant, destinataire de la décision attaquée, ayant manifestement la qualité pour recourir (art. 75 let. a LPA-VD). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2. Le recourant conteste l'échec définitif subi au module MSMAT11 "Didactique des mathématiques au secondaire 1" suivi dans le cadre de sa formation d'enseignant au secondaire 1 auprès de la HEP.
a) Selon l'art. 8 al. 3 et 4 LHEP, le Comité de direction de la HEP adopte les règlements d'études, lesquels fixent les objectifs et le déroulement des formations ainsi que les modalités d'évaluation. L'art. 74 al. 1 1ère phr. RLHEP dispose que l'étudiant qui échoue définitivement dans les cas prévus par les règlements d'études le concernant n'est plus autorisé à poursuivre ses études dans le même programme à la HEP.
b) aa) Le recourant a entrepris des études tendant à l'obtention d'un Master en enseignement secondaire 1 (MS1) en mathématiques. Le déroulement et les exigences de cette formation figurent dans le règlement des études menant au Master of Arts ou Master of Science en enseignement pour le degré secondaire I et au Diplôme d'enseignement pour le degré secondaire I (RMS1). Ce règlement, adopté par le Comité de direction et approuvé par la cheffe du Département de la formation, de la jeunesse et de la culture, peut être consulté, dans sa version en vigueur au 9 novembre 2021, sur le site internet de la HEP (https://www.hepl.ch/accueil.html > Notre Haute École > Cadre légal > Règlements d'études).
Selon l'art. 10 al. 1 RMS1, les études comprennent les éléments de formation suivants: les modules, obligatoires ou à choix, composés de cours et de séminaires (let. a), les stages et d'autres activités de formation pratique, dont les modules d'intégration (let. b), le mémoire professionnel de Master (let. c). D'après l'art. 11 al. 3 RMS1, pour chaque élément de formation, le plan d'études précise les objectifs de cet élément au regard des objectifs de formation du cursus, les prérequis, le contenu, les modalités de formation, le statut (obligatoire ou à choix), les formes de l'évaluation (formative et certificative) et l'attribution des crédits ECTS.
L'art. 18 RMS1 détermine les principes de l'évaluation. Ainsi, les prestations de l'étudiant font l'objet de deux types d'évaluation (al. 1): l'évaluation formative (let. a) et l'évaluation certificative (let. b). Cette dernière se réfère aux objectifs de formation requis par le plan d'études. Elle se base sur des critères communiqués aux étudiants et leur permet d'obtenir des crédits ECTS (al. 3). L'évaluation certificative respecte les principes de proportionnalité, d'égalité de traitement et de transparence (al. 4).
L'art. 20 al. 1 RMS1 dispose que les prestations faisant l'objet d'une évaluation certificative reçoivent une note selon l'échelle de 1 à 6, par demi-points. La note 1 correspond à l'absence de maîtrise, la note 4 à un niveau de maîtrise passable et la note 6 à un excellent niveau de maîtrise. Selon l'art. 21 al. 2 RMS1, l'évaluation certificative relève de la responsabilité, pour un module ou un groupe de modules, d'un jury, composé d'au moins deux membres désignés par l'unité d'enseignement et de recherche en charge du module ou du groupe de modules (let. a). En vertu de l'art. 21 al. 3 RMS1, le Comité de direction communique à l'étudiant les notes obtenues par une décision.
D'après l'art. 23 RMS1, lorsque la note attribuée est égale ou supérieure à 4, l'élément de formation est réussi (1ère phr.). L'art. 24 RMS1 prévoit en revanche que l'élément de formation est échoué lorsque la note attribuée est inférieure à 4. L'étudiant doit se présenter à une seconde évaluation (al. 1). Celle-ci doit avoir lieu au plus tard lors de la troisième session d'examens qui suit la fin de l'élément de formation concerné, sous réserve d'une absence pour motif jugé valable lors de cette troisième session. Dans ce dernier cas, l'évaluation a lieu à la session suivante (al. 2). Un second échec implique l'échec définitif des études, sauf s'il concerne un module à choix. Dans ce dernier cas, l'échec peut être compensé par la réussite d'un autre module à choix (al. 3).
bb) Le RMS1 est complété par plusieurs directives élaborées par le Comité de direction de la HEP, notamment la Directive 05_05 du 23 août 2010 portant sur les évaluations certificatives. Celle-ci peut être consulté sur le site internet de la HEP (https://www.hepl.ch/accueil.html > Notre Haute École > Cadre légal > Directives et décisions). L'art. 2 de cette directive règle la communication préalable des modalités: dès le début des cours, chaque formateur responsable de module est chargé de communiquer par écrit à tous les étudiants concernés les formes et modalités de l'évaluation certificative. Celles-ci doivent notamment comprendre: la forme retenue, en règle générale unique – examen oral ou écrit, travail écrit personnel ou de groupe, présentation orale, etc. – (let. a), les consignes du travail à fournir durant le semestre ou les modalités générales en cas d'examen (let. b), et les critères de l'évaluation, en lien avec les objectifs de formation annoncés (let. c). D'après l'art. 3 de la directive 05_05, l'évaluation certificative porte sur l'atteinte d'un niveau requis et non sur la valeur de la progression de l'étudiant (al. 1). Les critères de l'évaluation traduisent un niveau d'exigence élevé dès les premiers modules de la formation (al. 2). L'évaluation certificative se réfère à des critères explicites, en fonction des objectifs d'apprentissage et du contenu enseigné. Les notes sont attribuées en référence à ces critères (al. 2a). La note est inférieure à 4 lorsqu’un certain nombre de critères ne sont pas validés. Il est recommandé de sanctionner un niveau de maîtrise insuffisant par la note de 3 et un niveau de maîtrise très insuffisant par la note de 2. Dès lors qu’un ou plusieurs critères ne sont pas atteints, il n’est pas pertinent d’entrer dans un découpage plus détaillé de l’insuffisance, en utilisant les demi-points (al. 2b).
c) Dans sa décision attaquée, la Commission de recours de la HEP estime que le jury s'est appuyé sur des motifs objectifs pour évaluer la prestation du recourant, justifiant ainsi son échec définitif. Le recourant, qui attribue son échec à une attitude malveillante de la responsable du module à son égard, ne remet du reste pas en cause ces motifs de façon sérieuse. L'examen du dossier, étayé par les documents fournis par la HEP et les explications fournies lors de la procédure de recours administratif, permet de comprendre pourquoi la prestation de l'étudiant n'a pas satisfait aux exigences de l'évaluation certificative. L'autorité intimée relève par ailleurs que les observations du jury sont précises et cohérentes, sans qu'aucun élément ne laisse penser à un éventuel abus de pouvoir d'appréciation dans cette évaluation.
d) La CDAP dispose, en la présente cause, d'un libre pouvoir d'examen de la légalité, incluant l'abus et l'excès du pouvoir d'appréciation (art. 98 LPA-VD). Elle s'impose toutefois une retenue particulière lorsqu'elle est appelée à connaître de griefs relatifs à l'appréciation de prestations fournies par un candidat lors d'épreuves d'examens scolaires, universitaires ou professionnels. En effet, déterminer la capacité d'une personne à obtenir un grade ou à exercer une profession suppose des connaissances techniques propres aux matières examinées, que seuls les examinateurs sont en principe à même d'apprécier (ATF 136 I 229 consid. 5.4.1; TF 2C_212/2020 du 17 août 2020 consid. 3.2; CDAP GE.2022.0281 du 23 mai 2023 consid. 2a/aa et les références). De plus, de par leur nature, les décisions en matière d'examens ne se prêtent pas bien à un contrôle judiciaire étant donné que l'autorité de recours ne connaît pas tous les facteurs d'évaluation et n'est, en règle générale, pas à même de juger de la qualité ni de l'ensemble des épreuves du recourant ni de celles des autres candidats. Un contrôle sans retenue des décisions en matière d'examens pourrait ainsi engendrer des inégalités de traitement (CDAP GE.2022.0281 précité consid. 2a/aa).
e) Dans le cas présent, le recourant a subi un premier échec à l'évaluation certificative du module MSMAT11 à la session de juin 2023. Après ce premier échec, qu'il n'a pas contesté, le recourant s'est présenté à sa seconde tentative, à la session d'août et de septembre 2023, à laquelle il a également échoué, en obtenant la note 3 pour ce même module. Le recourant a échoué au niveau de maîtrise 1.1 "Manifester une compréhension critique des savoirs à enseigner afin de favoriser la création de liens significatifs chez les élèves". L'évaluation de ce niveau reposait sur trois critères, à savoir: - la résolution correcte de la tâche d'introduction et des autres tâches proposées; - la pertinence de l'analyse mathématique de la notion à enseigner; - la maîtrise du vocabulaire et des notations mathématiques (correction et précision).
aa) Sur les 4 points attribuables au premier critère (résolution correcte de la tâche d'introduction et des autres tâches proposées), le recourant n’en a obtenu aucun. La Commission de recours de la HEP relève que la séquence préparée à l'avance pour les élèves comportait plusieurs erreurs, admises par l’étudiant lui-même, qui parle d'"incohérences" (cf. écriture du 10 mai 2024). Il indiquait par ailleurs vouloir en faire un sujet de discussion avec les examinatrices. Ces dernières précisent dans le procès-verbal que les explications orales du recourant n'ont pas permis de "corriger les erreurs mathématiques et les problèmes didactiques qui étaient présents dans le dossier écrit de l'étudiant". Les remarques portent sur des aspects précis, que le recourant ne conteste pas: il n'a pas su expliquer les propriétés de "[t]ransformation qui conserve l'alignement avec le centre" et de "[t]ransformation qui conserve l'orientation de la figure", ni identifier quelle transformation conservait ou non les différentes grandeurs. Il a également choisi de s'écarter de l'aide-mémoire, "un document de référence pour les élèves au secondaire 1, mais aussi pour les enseignants", pour élaborer un exercice de sa propre conception, qui s'est toutefois révélé erroné. C'est du reste en vain que le recourant se plaint de la durée allongée de son examen oral, celle-ci s'expliquant par les nombreuses questions que lui ont posées les examinatrices afin qu'il puisse "corriger le tir" en remédiant, par ses réponses orales, aux insuffisances relevées dans son rapport écrit. Le recourant n'ayant pas apporté les réponses souhaitées, l'attribution de 0 sur 4 points paraît conforme à la grille d'évaluation produite par la HEP (0 point "en raison d'erreurs à l'écrit et à l'oral"). On ne voit en tout cas pas en quoi la Commission de recours aurait violé les prescriptions et les règles applicables en confirmant l'appréciation du jury pour ce critère. Le recourant ne l'explique d'ailleurs pas.
bb) Concernant le deuxième critère (pertinence de l'analyse mathématique de la notion à enseigner), le recourant a obtenu 2 sur 4 points, total sanctionnant, d'après la grille d'évaluation, une "analyse non pertinente du sens de l'objet math[ématique] ou des objectifs de la séquence". Les examinatrices ont reproché au recourant d'avoir abordé, dans le dossier écrit ainsi qu'à l'oral, les transformations géométriques de la séquence sous l'angle de la manipulation (géométrie perceptive) et non des propriétés (géométrie déductive), ignorant par là-même le changement de paradigme opéré entre le degré primaire et le degré secondaire, thématique pourtant traitée dans le module. Cette remarque est cohérente avec le contenu du rapport écrit de deux pages remis par le recourant: ce rapport fait état de "[d]émonstrations par le pliage, le pavage, le carrelage", ce qui prouve que la séquence proposée relevait de la géométrie perceptive, donc sous l'angle de la manipulation. L'étudiant ne le conteste pas: dans son écriture du 11 décembre 2023, il explique avoir voulu recourir à la géométrie perceptive "pour mieux capter l'attention des adolescents", en déplorant que "la contrainte de deux pages [dans le rapport écrit] maximum ne [lui] permettait plus de rajouter d'autres phrases ou paragraphes." (ch. 2 p. 4). La Commission de recours de la HEP, autorité administrative spécialisée, a considéré que la critique du jury était objectivement fondée, en soulignant que les modalités et les critères d'évaluation, s'agissant de la remise d'un rapport écrit limité à deux pages, étaient les mêmes pour tous les candidats. La CDAP ne voit pas de raison de remettre en cause cette appréciation. Que le recourant eût l'intention "d'approfondir par la démonstration par les propriétés" après avoir capté l'attention des élèves ne pallie pas les manquements constatés.
cc) Enfin, pour le troisième critère (maîtrise du vocabulaire et des notations mathématiques [correction et précision]), le jury a attribué au recourant 2 sur 4 points. Cela signifie, d'après la grille d'évaluation, que le recourant a commis des "imprécisions/erreurs à l'écrit et à l'oral". Le jury justifie cette notation en expliquant que le recourant a confondu la propriété de conservation de l'orientation avec celle de la conservation au sens des vecteurs. Il a en outre confondu les notions de dessin et de figure qui sont, d'après le procès-verbal, des "notions didactiques essentielles pour l'enseignement de la géométrie". Les remarques du jury sont précises: concernant l'objectif du TS, il retient que ""construire l'image d'une transformation isométrique et d'une homothétie" n'a pas de sens car on ne peut pas construire l'image d'une transformation géométrique." Les manquements constatés sont établis et au demeurant non-contestés par le recourant. Il n'en va pas, contrairement à ce qu'il allègue, du remplacement de ses réponses "par des expressions ayant le même sens" (cf. écriture du 11 décembre 2023), mais de la sanction d'une maîtrise insuffisante, sur le plan terminologique, de la matière dispensée en cours, ces notions étant "travaillées dans le module et indiquées dans le lexique du PER" (cf. procès-verbal). La décote de 2 points pour ce critère a été validée par la Commission de recours de la HEP, et la CDAP ne voit aucun motif de s'écarter de cette appréciation.
f) Selon la jurisprudence, une organisation vérifiant les capacités de candidats dispose d'une grande liberté d'appréciation dans la fixation des échelles de points et des barèmes de notes. L'établissement du barème est en principe laissé à l'appréciation des examinateurs, sous réserve de son caractère excessif. Ils demeurent libres, s'ils l'estiment opportun, d'adapter en tout temps la méthode de notation qu'ils entendent appliquer aux travaux des candidats, sous réserve toutefois de ne pas déroger aux objectifs de formation contenus dans les réglementations y relatives et de respecter les principes de la bonne foi et de l'égalité de traitement (CDAP GE.2024.0005 du 11 avril 2024 consid. 3 et les références). Dans le cas présent, le recourant ne remet en cause ni le barème, ni la fixation des échelles de points. La méthode de notation reste au demeurant manifestement dans le cadre de ce que la HEP pouvait fixer, compte tenu du large pouvoir d'appréciation dont disposent les examinateurs en la matière. Aussi, c'est à bon droit que la Commission de recours de la HEP a considéré qu'avec 4 sur 12 points, le recourant n'avait pas satisfait aux exigences du niveau de maîtrise 1.1 "Manifester une compréhension critique des savoirs à enseigner afin de favoriser la création de liens significatifs chez les élèves". Cela entraîne, conformément aux prescriptions de la directive 05_05 (cf. art. 3 al. 2b) et aux explications données par le jury, l'attribution de la note 3.
g) Les motifs qui ont conduit à l'échec définitif du recourant au module MSMAT11 sont sérieux et objectifs. Ils ressortent de manière cohérente des pièces produites par la HEP, et ne sont d'ailleurs pas contestés par le recourant. Aussi bien la HEP dans ses écritures que la Commission de recours dans sa décision ont exposé de manière circonstanciée les raisons de l'échec du recourant. Celui-ci ne discute aucune des explications fournies par ces autorités. Il se borne, dans son recours, à dénoncer les "conspirations" et les "stratagèmes" prétendument ourdis par la responsable du module contre lui. De telles allégations, au demeurant nullement étayées, ne sont pas crédibles. Il en va de même des prétendus "stéréotypes et préjugés activés automatiquement par le faciès de l'étudiant présentateur". Comme le relève la Commission de recours de la HEP de manière pertinente, si l'animosité de la responsable à son égard était telle qu'il le soutient, on ne conçoit pas que le recourant ait attendu son échec définitif pour s'en plaindre. On remarque à ce propos que même dans son recours administratif, le recourant ne dit rien de l'attitude de la responsable du module. Ce n'est que dans sa détermination du 11 décembre 2023, à la suite de la réponse de la HEP dans le cadre de la procédure de recours administratif, que le recourant évoque pour la première fois "cet acharnement visant à [l]'éliminer de cette formation", en mettant la responsable du module personnellement et nommément en cause. Le recourant perd en outre de vue que cette dernière, contre laquelle il tient des propos particulièrement virulents, ne faisait pas partie de la composition du jury de sa première tentative, à la session de juin 2023, à laquelle il a pourtant échoué.
En définitive, les arguments du recourant, qui ne reposent sur aucun indice concret et qui sont par conséquent dépourvus de toute crédibilité, ne permettent pas de remettre en cause l'appréciation de l'autorité intimée. Il n'y a partant pas lieu de s'écarter de l'évaluation des prestations du recourant par les examinatrices, confirmée par la Commission de recours. Autrement dit, la HEP n'a pas mal appliqué les prescriptions pertinentes en attribuant la note 3 au recourant pour le module MSMAT11, ce second échec impliquant l'échec définitif de ses études (cf. art. 74 al. 1 1ère phr. RLHEP en lien avec l'art. 24 al. 3 RMS1).
3. Le considérant qui précède conduit au rejet du recours, entièrement mal fondé. Cela entraîne la confirmation de la décision attaquée. Les frais judiciaires devraient être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 49 LPA-VD). Ce dernier ayant toutefois été mis au bénéfice de l'assistance judiciaire concernant l'avance et les frais judiciaires, ceux-ci sont supportés provisoirement par l'Etat (art. 122 al. 1 let. b du Code de procédure civile [CPC; RS 272], applicable par renvoi de l'art. 18 al. 5 LPA-VD). Le recourant est rendu attentif au fait qu'il est tenu de rembourser le montant ainsi avancé dès qu'il sera en mesure de le faire (art. 122 al. 1 let. a et 123 al. 1 CPC, applicables par renvoi de l'art. 18 al. 5 LPA-VD). Vu le sort de la cause, le recourant n'a pas droit à l'allocation de dépens (cf. art. 55 LPA-VD).
Par ces motifs la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal arrête:
I. Le recours est rejeté.
II. La décision rendue le 6 juin 2024 par la Commission de recours de la Haute école pédagogique est confirmée.
III. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 (mille) francs, sont provisoirement laissés à la charge de l'Etat.
IV. Le bénéficiaire de l'assistance judiciaire est, dans la mesure de l'art. 123 CPC, applicable par renvoi de l'art. 18 al. 5 LPA-VD, tenu au remboursement des frais judiciaires mis à la charge de l'Etat.
V. Il n'est pas alloué de dépens.
Lausanne, le 20 novembre 2024
Le président: Le greffier:
Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure.
Il peut faire l'objet, dans les trente jours suivant sa notification, d'un recours au Tribunal fédéral (Tribunal fédéral suisse, 1000 Lausanne 14). Le recours en matière de droit public s'exerce aux conditions des articles 82 ss de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF - RS 173.110), le recours constitutionnel subsidiaire à celles des articles 113 ss LTF. Le mémoire de recours doit être rédigé dans une langue officielle, indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, et être signé. Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l’acte attaqué viole le droit. Les pièces invoquées comme moyens de preuve doivent être jointes au mémoire, pour autant qu’elles soient en mains de la partie; il en va de même de la décision attaquée.