Vu le recours du 1er février 2011 de X., à La Chaux-de-Fonds, agissant d'abord seule puis représentée par Me L., avocate au service juridique de Procap. à Bienne, recourante, contre la décision du 4 janvier 2011 rendue par l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (OAI), intimé, par laquelle une rente d'invalidité entière et une rente pour enfant est accordée à l'intéressée pour la période du 1er octobre 2007 au 31 mars 2008,
vu les déterminations de l'OAI du 14 mars 2011 par lesquelles l'OAI conclut au rejet du recours, sans formuler d'observations,
vu le mémoire complémentaire du 4 avril 2011 de Me L. par lequel cette mandataire développe et complète le recours initial de sa mandante, alléguant notamment une violation du droit d'être entendu de X., contestant la méthode d'évaluation retenue par l'OAI, requérant l'assistance judiciaire totale, et concluant à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi du dossier à l'OAI pour complément d'instruction, le tout sous suite de frais et dépens,
vu la lettre du 11 mai 2011 de l'OAI à l'Autorité de céans par laquelle l'intimé admet qu'il aurait dû procéder à un complément d'instruction et sollicite la suspension de la procédure,
vu la réponse de la Cour de céans rendant attentif l'OAI qu'au regard de la sévérité de la jurisprudence du Tribunal fédéral en la matière (ATF 127 V 228), une telle suspension de procédure ne pourrait être accordée,
vu les observations complémentaires de l'OAI du 19 mai 2011 par lesquelles l'intimé conclut à l'admission du recours, à l'annulation de sa propre décision du 4 janvier 2011 et au renvoi du dossier pour complément d'instruction,
vu le mémoire d'honoraires déposé par Me L. le 30 mai 2011,
vu le dossier,
CONSIDERANT
que conformément à la jurisprudence du Tribunal fédéral (ATF 127 V 228), lorsque l'assureur social admet que la cause a été insuffisamment instruite, après dépôt d'un recours, il n'est généralement pas possible de suspendre la procédure d'instruction pour que l'intimé procède à de nouvelles mesures d'instruction, si, dans un premier temps, l'assureur n'a pas saisi l'opportunité de reconsidérer sa décision (art. 53 al. 3 LPGA; 39 al. 2 LPJA) et a conclu au rejet du recours,
que dans un cas tel qu'en l'espèce, le Tribunal des assurances saisi ne peut donc qu'ordonner lui-même le complément d'instruction nécessaire ou annuler la décision litigieuse et renvoyer le dossier à l'administration pour qu'elle complète son instruction,
que tant la recourante que l'intimé admettent ici que le droit d'être entendu de la recourante a été violé, les observations de cette dernière et le rapport du Centre neuchâtelois de psychiatrie (CNP) du 19 avril 2010 ayant été ignorés,
que l'OAI admet de même que le rapport du CNP et celui du 31 mars 2011 du Dr C. auraient dû être soumis à l'examen du Service médical régional (SMR), avant décision,
que le recours doit dès lors être admis et la décision attaquée annulée,
que pour la présente procédure de recours de droit administratif, la recourante requiert l'octroi de l'assistance judiciaire, en application des articles 37 al. 4 et 61 let. f LPGA et 60 a ss LPJA,
qu'au regard du questionnaire ad hoc complété le 11 février 2011, des pièces fournies et de l'attestation du 2 février 2011 de l'Office de l'aide sociale de la Commune de La Chaux-de-Fonds, la recourante en remplit manifestement les conditions, le sort même de la présente cause établissant par ailleurs que la procédure n'était pas dénuée de chance de succès,
que compte tenu du renvoi de l'article 60i LPJA à la procédure civile fédérale, il convient donc d'octroyer l'assistance judiciaire sollicitée, d'exonérer la recourante de l'avance ou d'éventuels frais judiciaires et de désigner Me F. L. comme mandataire d'office (art. 118 et 122 al. 1 CPC),
que la recourante obtenant par ailleurs gain de cause, elle a droit à des dépens pleins et entiers au sens des articles 61 let. g LPGA, 48 LPJA, 49 à 56, 58 et 59 de l'Arrêté temporaire fixant les tarifs des frais, des émoluments de chancellerie et des dépens en matière civile, pénale et administrative du 22 décembre 2010 (RSN 164.11, version du RSN 2011/1)
que Me L. a déposé le 30 mai 2011 un mémoire d'honoraires faisant état de 13,6 heures d'activité facturées au tarif de 230 francs de l'heure, des débours par 29 francs et des frais de TVA par 252.50 francs (taux de 8 % pour une activité déployée en 2011 uniquement), soit au total 3'409.55 francs,
que ce mémoire excède de plus de 1'400 francs les montants généralement alloués par la Cour de céans dans des procédures de même espèce, alors que la présente cause ne présentait ni difficultés particulières, ni problèmes juridiques délicats, si ce n'est que la mandataire n'a pas participé à la procédure devant l'administration entre 2004 et 2010, d'où nécessairement, un temps un peu plus important pour l'étude du dossier et la rédaction du recours,
que tout bien considéré, le temps consacré à la cause par un avocat diligent et expérimenté ne paraît pas devoir dépasser ici 10,6 heures, soit 2'438 francs auxquels s'ajoutent les débours par 29 francs et la TVA à 8 % par 195.40 francs, soit au total 2'664.40 francs,
qu'en dérogation à l'article 61 let. a LPGA, la procédure en matière d'assurance-invalidité n'est pas gratuite (art. 69 al.1 bis LAI) et qu'il appartient en conséquence à la partie qui succombe, soit en l'occurrence l'OAI, de supporter les frais de la procédure (art. 47 LPJA).
Par ces motifs, la Cour de droit public
1. Annule la décision de l'OAI du 4 janvier 2011.
2. Renvoie la cause à l'OAI pour complément d'instruction.
3. Accorde l'assistance judiciaire requise et désigne Me L. comme avocate d'office de X.
4. Alloue à la recourante une indemnité de dépens de 2'664.40 francs à charge de l'OAI.
5. Met les frais de la cause par 440 francs à charge de l'OAI.
Neuchâtel, le 29 juillet 2011
Art. 53 LPGA
Révision et reconsidération
1 Les décisions et les décisions sur opposition formellement passées en force sont soumises à révision si l'assuré ou l'assureur découvre subséquemment des faits nouveaux importants ou trouve des nouveaux moyens de preuve qui ne pouvaient être produits auparavant.
2 L'assureur peut revenir sur les décisions ou les décisions sur opposition formellement passées en force lorsqu'elles sont manifestement erronées et que leur rectification revêt une importance notable.
3 Jusqu'à l'envoi de son préavis à l'autorité de recours, l'assureur peut reconsidérer une décision ou une décision sur opposition contre laquelle un recours a été formé.
Etat le 1er janvier 2011