A. a) Le 2 octobre 2019, Y.________ a ouvert action en cas clair contre X.________ devant le tribunal civil, en restitution d’un objet loué ; elle concluait au prononcé de l’expulsion de X.________ d’un appartement qu’il occupait à Z.________ (appartement dont le loyer est de 1'400 francs par mois), à ce qu’il soit ordonné au requis de libérer les locaux et à ce que faute d’exécution à bref délai, il soit procédé avec l’assistance de la force publique.
b) Dans sa réponse du 17 octobre 2019, le requis a conclu au rejet de la demande. Le 6 novembre 2019, il a en outre adressé à la Chambre de conciliation une requête en conciliation pour contestation de congé.
B. Par décision du 18 décembre 2019, le tribunal civil a ordonné l’expulsion du requis, fixé à celui-ci un délai au 13 janvier 2020 pour quitter les lieux et déterminé les modalités de l’exécution pour le cas où ledit requis ne quitterait pas les locaux dans le délai prévu. Il a notamment considéré que la résiliation du bail était intervenue et que le requis en avait eu connaissance.
C. a) Le 28 décembre 2019, X.________ a déposé un recours, au sens des articles 319 ss CPC, contre la décision du 18 du même mois, en concluant à l’octroi de l’assistance judiciaire et de l’effet suspensif, ainsi qu’à l’annulation de la décision entreprise.
b) L’effet suspensif a été accordé au recours, vu la nature de la cause et à titre conservatoire.
c) Dans ses observations du 13 janvier 2020, l’intimée a posé la question de savoir si, vu la valeur litigieuse, le recourant n’aurait pas dû déposer un appel, plutôt qu’un recours, tout en relevant que l’autorité de recours pourrait transformer le recours en appel si les conditions de forme et de recevabilité d’un appel étaient remplies. Elle concluait au retrait de l’effet suspensif et au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité.
d) Cette détermination a été transmise au recourant le 13 janvier 2020, un délai de 10 jours lui étant fixé pour présenter d’éventuelles observations. Il n’a pas réagi.
CONSIDERANT
1. a) L'article 319 CPC prévoit que le recours est recevable contre les décisions finales, incidentes et provisionnelles de première instance qui ne peuvent faire l'objet d'un appel (let. a), contre les autres décisions et ordonnances d'instruction de première instance dans les cas prévus par la loi (let. b ch. 1) ou lorsqu'elles peuvent causer un préjudice difficilement réparable (let. b ch. 2) et contre le retard injustifié du tribunal (let. c).
b) Dans les affaires patrimoniales, l’appel est recevable quand la valeur litigieuse au dernier état des conclusions est de 10'000 francs au moins (art. 308 al. 2 CPC), sous réserve d’une exception selon l’article 309 CPC (dont il est clair qu’aucune d’entre elles n’est réalisée en l’espèce).
c) Dans les procédures d’expulsion de locataires, la valeur litigieuse est égale à six mois de loyer quand seule la question de l’expulsion doit être tranchée, mais à trois ans de loyer quand il s’agit de statuer aussi sur la validité de la résiliation du bail (ATF 144 III 346 cons. 1.2 et 1.2.2.3).
2. En l’espèce, l’affaire est patrimoniale. Le recourant conteste la validité de la résiliation, en soutenant que celle-ci est abusive et que le congé n’a pas été notifié selon les règles légales. La valeur litigieuse correspond ainsi à trois ans de loyer à 1'400 francs par mois, soit 50'400 francs. Elle dépasse donc la limite fixée à l’article 308 al. 2 CPP, qui est de 10'000 francs. L’appel est ainsi en principe recevable, ce qui exclut la recevabilité d’un recours au sens des articles 319 ss CPC.
3. A première vue, le mémoire de recours pourrait remplir les conditions formelles et matérielles de recevabilité d’un appel. Il sera dès lors transmis à la Cour d’appel civile, à qui il appartiendra notamment de statuer sur une éventuelle conversion du recours en appel (cf. arrêt du TF du 04.06.2018 [5A_221/2018] cons. 3.3). Il ne revient en effet pas à l’Autorité de recours en matière civile de déterminer elle-même si les conditions d’une conversion du recours en appel sont réunies (arrêt de l’ARMC du 07.09.2018 [ARMC.2018.52] cons. 4).
4. Le recourant a demandé l’assistance judiciaire pour la procédure de recours. Sa requête doit être rejetée, car le recours n’avait pas de chances suffisantes de succès.
5. Vu ce qui précède, les frais de la présente décision seront mis à la charge du recourant. Les frais judiciaires seront fixés à 250 francs. L’intimée a droit à des dépens, qui peuvent être fixés en équité, au vu des observations déposées et en l’absence de mémoire d’honoraires, à 350 francs.
Par ces motifs, L'AUTORITé DE RECOURS EN MATIERE CIVILE
1. Rejette la requête d’assistance judiciaire du recourant pour la procédure de recours.
2. Déclare irrecevable en tant que recours le mémoire du 28 décembre 2019.
3. Transmet le mémoire du 28 décembre 2019 et le dossier à la Cour d’appel civile, pour suite utile.
4. Met les frais judiciaires de la présente décision, arrêtés à 250 francs, à la charge du recourant.
5. Condamne le recourant à verser à l’intimée, pour la procédure ayant conduit à la présente décision, une indemnité de dépens de 350 francs.
Neuchâtel, le 10 février 2020
Art. 319 CPC
Objet du recours
Le recours est recevable contre:
a. les décisions finales, incidentes et provisionnelles de première instance qui ne peuvent faire l’objet d’un appel;
b. les autres décisions et ordonnances d’instruction de première instance:
1. dans les cas prévus par la loi,
2. lorsqu’elles peuvent causer un préjudice difficilement réparable;
c. le retard injustifié du tribunal.