A.b Mit Klage vom 26. Oktober 1988 forderte die Beschwerdegegnerin beim Bezirksgericht Val Müstair von der X.________ CH die Bezahlung der ausstehenden Rechnungsbeträge von Fr. 923'081.61. Die X.________ CH stellte Schadenersatzforderungen von über Fr. 4.8 Mio. zur Verrechnung. Mit Urteil vom 16. Dezember 1998 hiess das Bezirksgericht Müstair die Klage im Umfang von Fr. 717'489.61 gut. Das Gericht hielt die Klage grundsätzlich für berechtigt